Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. , onde ;(Diego Lucio)
Passo 1
O enunciado define o operador linear
Tcolon M2(R)toM2(R), T(A)=M,A - A,M
onde
M = 1 & 2[6pt]2 & 2
O conteúdo envolve autovalores e autovetores de um comutador, multiplicidades algébrica e geométrica e critério de diagonalização.]
Passo 2
Calculamos primeiro os autovalores de M. Seu polinômio característico é
Agora os autespaços e multiplicidades geométricas:
— Para mu=0: ker(T)=Amid MA=AM é o centralizador de M. Como M é diagonalizável com autovalores distintos, dimker(T)=2. Um gerador explícito é I,;M.
— Para mu=raiz17:
o autespaço é de dimensão 1, gerado por qualquer matriz que mapeie o autovetor de lambda2 em lambda1 e anule o outro, por exemplo ;P,E12,P^-1, onde P diagonaliza M.
— Para mu=-raiz17:
analogamente, o autespaço é de dimensão 1, gerado por P,E21,P^-1.
Portanto as multiplicidades geométricas coincidem com as algébricas.
Passo 5
Como a soma das dimensões dos autespaços é 2+1+1=4=dimM2(R) e em cada caso a multiplicidade geométrica iguala a algébrica, concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores de T: ;0 com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2, autespaço Amid MA=AM=spanI,M. ;raiz17 com mult.\ alg.\ 1 e geom.\ 1, autespaço gerado por P,E12,P^-1. -raiz17 com mult.\ alg.\ 1 e geom.\ 1, autespaço gerado por P,E21,P^-1.
Logo T é diagonalizável.