Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T(A)=M A-A M, onde M=[ll1 & 2 2 & 2];(Diego Lucio)

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon M2(R)toM2(R), T(A)=M,A - A,M
onde
M = 1 & 2[6pt]2 & 2
O conteúdo envolve autovalores e autovetores de um comutador, multiplicidades algébrica e geométrica e critério de diagonalização.]

Passo 2

Calculamos primeiro os autovalores de M. Seu polinômio característico é
det(M-lambda I) =det!1-lambda & 2[4pt]2 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-4 =lambda^2-3lambda-2
As raízes são
lambda1,2=3pmraiz9+82 =3pmraiz172
]

Passo 3

Para o operador T(A)=MA-AM (denotado adM) vale o fato geral:
os autovalores de adM são
lambdai-lambdaj, i,jin1,2. Assim surgem
lambda1-lambda1=0, lambda2-lambda2=0, lambda1-lambda2=raiz17, lambda2-lambda1=-raiz17
Logo os autovalores de T são
0 (algébrica 2), raiz17 (algébrica 1), -raiz17 (algébrica 1) ééé

Passo 4

Agora os autespaços e multiplicidades geométricas:
— Para mu=0:
ker(T)=Amid MA=AM é o centralizador de M. Como M é diagonalizável com autovalores distintos,
dimker(T)=2. Um gerador explícito é
I,;M.
— Para mu=raiz17:
o autespaço é de dimensão 1, gerado por qualquer matriz que mapeie o autovetor de lambda2 em lambda1 e anule o outro, por exemplo
;P,E12,P^-1, onde P diagonaliza M.
— Para mu=-raiz17:
analogamente, o autespaço é de dimensão 1, gerado por P,E21,P^-1.
Portanto as multiplicidades geométricas coincidem com as algébricas.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos autespaços é 2+1+1=4=dimM2(R) e em cada caso a multiplicidade geométrica iguala a algébrica, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores de T:
;0 com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2, autespaço Amid MA=AM=spanI,M.
;raiz17 com mult.\ alg.\ 1 e geom.\ 1, autespaço gerado por P,E12,P^-1.
-raiz17 com mult.\ alg.\ 1 e geom.\ 1, autespaço gerado por P,E21,P^-1.
Logo T é diagonalizável.

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