Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=(1+x) p^prime(x)+p^prime prime(x) ;(Francisco Josue)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon P2(R)toP2(R), Tl(p(x)r)=(1+x)p'(x)+p''(x),
e pede para encontrar os autovalores, os respectivos auto-espaços, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e concluir se T é diagonalizável. O espaço P2(R) tem dimensão 3 e vamos usar como base canônica 1,x,x^2.

Passo 2

Em 1,x,x^2 calculemos
p(x)=a0 + a1x + a2x^2, p'(x)=a1+2a2x, p''(x)=2a2
Então
(1+x)p'(x)=a1+2a2x + a1x+2a2x^2 =a1 + (a1+2a2)x + 2a2x^2
e
T(p)= (1+x)p' + p'' = (a1+2a2) + (a1+2a2)x + 2a2x^2
Logo
T(1)=0, T(x)=1+x, T(x^2)=2+2x+2x^2,
e a matriz de T nessa base é
M= 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2

Passo 3

Como M é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
chiM(lambda)=(0-lambda)(1-lambda)(2-lambda) =-lambda,(1-lambda),(2-lambda)
Portanto os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
cada um de multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Para cada lambda resolvemos (M-lambda I)v=0.
1. lambda=0:
(M-0I)v=0
a1+2a2=0, a1+2a2=0, 2a2=0 ;Rightarrow;a2=0,;a1=0,;a0 livre
Então
E0=a0cdot[1,0,0]=span1,
dim E0=1.
2. lambda=1:
(M-I)v=0
-,a0 + a1 +2a2=0, 2a2=0, a2=0 ;Rightarrow;a2=0,;a1=a0
Logo
E1=a0cdot[1,1,0]=span1+x,
dim E1=1.
3. lambda=2:
(M-2I)v=0
-2a0 + a1 +2a2=0, -,a1+2a2=0 ;Rightarrow;a1=2a2,;2a2=2a0;Rightarrow;a2=tfraca02,;a1=a0
Então
E2=a0cdot[2,2,1]=spanx^2+2x+2,
dim E2=1.
Em cada caso a multiplicidade geométrica é 1, igual à algébrica.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos auto-espaços é
dim E0+dim E1+dim E2 = 1+1+1 = 3 = dimP2(R),
a transformação T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e auto-espaços:
lambda=0: E0=span1, mult. alg. =1, mult. geom. =1.
lambda=1: E1=span1+x, mult. alg. =1, mult. geom. =1.
lambda=2: E2=spanx^2+2x+2, mult. alg. =1, mult. geom. =1.
Conclusão: T é diagonalizável.

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