Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
; (Francisco Leonan)
Passo 1
Estamos estudando a transformação linear
onde
é o espaço dos polinômios de grau
. Precisamos encontrar os autovalores de
, descrever os autoespaços, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se
é diagonalizável.
Passo 2
Vamos ver como
age na base canônica
. Se
então
e
Logo, em particular,
Passo 3
Como
é diagonal nessa base, os autovalores aparecem nos coeficientes de
e
e nos zeros:
sendo
repetido duas vezes (aparece em
e em
).
Passo 4
Autovalor
. O autoespaço é
Como
, temos
para todo
se, e só se,
. Isso significa que
é polinômio de grau
, logo
Assim
.
Passo 5
Autovalor
. Precisamos de
. Na base, só
satisfaz
logo
Autovalor
. Similarmente
portanto
Passo 6
O polinômio característico de
é
. Daí as multiplicidades algébricas são
As dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) são
Vê-se que para cada autovalor
.
Passo 7
Como a soma das dimensões dos autoespaços é
temos uma base de autovetores. Portanto
é diagonalizável.
Resposta
A transformação
tem autovalores
(algébrica e geometricamente de multiplicidade
),
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
); os autoespaços são
e
é diagonalizável.