Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P3(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=x^2 p^prime prime(x); (Francisco Leonan)

Passo 1

Estamos estudando a transformação linear
Tcolon P3(R)toP3(R), Tl(p(x)r)=x^2p''(x),
onde P3(R) é o espaço dos polinômios de grau <=3. Precisamos encontrar os autovalores de T, descrever os autoespaços, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Vamos ver como T age na base canônica 1,x,x^2,x^3. Se
p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3,
então
p''(x)=2a2+6a3x,
e
Tl(p(x)r)=x^2l(2a2+6a3xr)=2a2x^2+6a3x^3
Logo, em particular,
T(1)=0, T(x)=0, T(x^2)=2x^2, T(x^3)=6x^3

Passo 3

Como T é diagonal nessa base, os autovalores aparecem nos coeficientes de x^2 e x^3 e nos zeros:
lambda1=0,;lambda2=2,;lambda3=6,
sendo lambda=0 repetido duas vezes (aparece em T(1) e em T(x)).

Passo 4

Autovalor lambda=0. O autoespaço é
E0=ker(T-0cdot I)=ker T
Como T(p)=x^2p''(x), temos T(p)=0 para todo x se, e só se, p''(x)equiv0. Isso significa que p é polinômio de grau <=1, logo
E0=a0+a1xmid a0,a1inR=span1,x
Assim dim E0=2.

Passo 5

Autovalor lambda=2. Precisamos de T(p)=2p. Na base, só x^2 satisfaz
T(x^2)=2x^2=2cdot x^2,
logo
E2=spanx^2, dim E2=1
Autovalor lambda=6. Similarmente
T(x^3)=6x^3=6cdot x^3,
portanto
E6=spanx^3, dim E6=1

Passo 6

O polinômio característico de T é chiT(lambda)=lambda^2(lambda-2)(lambda-6). Daí as multiplicidades algébricas são
ma(0)=2, ma(2)=1, ma(6)=1
As dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) são
mg(0)=2, mg(2)=1, mg(6)=1
Vê-se que para cada autovalor mg(lambda)=ma(lambda).

Passo 7

Como a soma das dimensões dos autoespaços é
2+1+1=4=dimP3(R),
temos uma base de autovetores. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

A transformação T tem autovalores 0 (algébrica e geometricamente de multiplicidade 2), 2 (multiplicidade 1) e 6 (multiplicidade 1); os autoespaços são
E0=span1,x, E2=spanx^2, E6=spanx^3,
e T é diagonalizável.

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