Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, tal que a matriz de T na base canônica é dada por [T]=[ccc2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & -2] ; (Francisco Ruan)

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos os autovalores de TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & -2 ,
em seguida encontrarmos os autoespaços ker(A-lambda I), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda e, por fim, verificar se T é diagonalizável. Vamos usar o polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 2-lambda & 1 & 1 2 & 3-lambda & 4 -1 & -1 & -2-lambda
Fazendo expansão e simplificação, chega-se a
chiA(lambda) = -(lambda+1)(lambda-1)(lambda-3),
cuja raiz são lambda=-1,,1,,3, todas com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos [(A-\lambda I)x=0):
  1. :
leva ao sistema
cuja solução é
Logo
dimensão (geométrica) (=1].
sistema
. Assim
dimensão .
  1. :
sistema
. Então
dimensão .

Passo 4

Cada autovalor lambdain-1,1,3 tem multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3=dimR^3, existem três vetores linearmente independentes de autovetores.

Resposta

Os autovalores são .
Os autoespaços são
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor são ambas iguais a 1.
Portanto, é diagonalizável.

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