Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. , tal que a matriz de T na base canônica é dada por (Francisco Ruan)
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos os autovalores de TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & -2 ,
em seguida encontrarmos os autoespaços ker(A-lambda I), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda e, por fim, verificar se T é diagonalizável. Vamos usar o polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.
cuja raiz são lambda=-1,,1,,3, todas com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Para cada autovalor resolvemos [(A-\lambda I)x=0):
:
leva ao sistema
cuja solução é
Logo
dimensão (geométrica) (=1].
sistema
dá . Assim
dimensão .
:
sistema
dá . Então
dimensão .
Passo 4
Cada autovalor lambdain-1,1,3 tem multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3=dimR^3, existem três vetores linearmente independentes de autovetores.
Resposta
Os autovalores são .
Os autoespaços são
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor são ambas iguais a 1.
Portanto, é diagonalizável.