Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=p(0)+p(1)(x+x^2); (Geremy Haimar)

Passo 1

O enunciado define o endomorfismo
T: P2(R) to P2(R), Tl(p(x)r) = p(0) + p(1) l(x + x^2r)
Queremos encontrar os valores próprios (\emph{autovalores}) de T, os respectivos \emph{autoespaços}, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Escolhemos a base canônica B=1,x,x^2. Para montar a matriz de T em B, calculamos
T(1)=1+1cdot(x+x^2)=1+x+x^2, T(x)=0+1cdot(x+x^2)=x+x^2, T(x^2)=0+1cdot(x+x^2)=x+x^2
Em coordenadas na base B isso dá
A= 1&0&0 1&1&1 1&1&1

Passo 3

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =(1-lambda)det1-lambda&11&1-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)^2-1r) =lambda(1-lambda)(lambda-2)
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2

Passo 4

Agora achamos os autoespaços resolvendo [(A-\lambda I),\mathbf v=0) para .
Para :
logo (\mathbf v=(0,b,-b)] e
Para
logo (\mathbf v=(a,-a,-a)] e
Para
logo (\mathbf v=(0,b,b)] e

Passo 5

Do polinômio característico vemos que cada autovalor aparece com multiplicidade algébrica
ma(0)=ma(1)=ma(2)=1
Como cada autoespaço tem dimensão 1, a multiplicidade geométrica é
mg(0)=mg(1)=mg(2)=1
Vemos que mg(lambda)=ma(lambda) para todo autovalor e que há 3 autovetores linearmente independentes em dimensão 3; portanto T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
.
Autoespaços:
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor igual a .
Conclusão: é diagonalizável.

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