Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. (Joana Sena)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos encontrar os autovalores , os autoespaços , calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada e, por fim, decidir se é diagonalizável.
Passo 2
Escolhemos a base padrão . Para um polinômio genérico
temos
logo
Na base , a matriz de é
Passo 3
Como [T] é diagonal, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3
Passo 4
Cada autovalor tem autoespaço gerado pelo vetor da base correspondente:
Passo 5
Para cada lambdai:
A multiplicidade algébrica é 1 (aparece uma vez na diagonal).
A multiplicidade geométrica é 1 (cada autoespaço é unidimensional).
Passo 6
Como soma das dimensões dos autoespaços =1+1+1=3=dimP2(R), T admite uma base de autovetores. Portanto, T é diagonalizável.
Resposta
com autoespaço , mult. alg., mult. geom. com autoespaço , mult. alg., mult. geom. com autoespaço , mult. alg., mult. geom.