Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=p(x)+x p^prime(x) ; (Joana Sena)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2(R)toP2(R), Tl(p(x)r)=p(x)+x,p'(x)
Precisamos encontrar os autovalores lambda, os autoespaços kerl(T-lambda Ir), calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Escolhemos a base padrão 1,x,x^2. Para um polinômio genérico
p(x)=a+bx+cx^2
temos
p'(x)=b+2c,x, x,p'(x)=b,x+2c,x^2,
logo
Tl(a+bx+cx^2r)=a + (b+b)x + (c+2c)x^2 = a + 2b,x + 3c,x^2
Na base 1,x,x^2, a matriz de T é
[T]= 1&0&0 0&2&0 0&0&3

Passo 3

Como [T] é diagonal, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3

Passo 4

Cada autovalor tem autoespaço gerado pelo vetor da base correspondente:

Passo 5

Para cada lambdai:
  • A multiplicidade algébrica é 1 (aparece uma vez na diagonal).
  • A multiplicidade geométrica é 1 (cada autoespaço é unidimensional).

Passo 6

Como soma das dimensões dos autoespaços =1+1+1=3=dimP2(R), T admite uma base de autovetores. Portanto, T é diagonalizável.

Resposta

com autoespaço , mult. alg. , mult. geom. com autoespaço , mult. alg. , mult. geom. com autoespaço , mult. alg. , mult. geom.
Logo, é diagonalizável.

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