Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Joao Paulo)
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
que a gente deve estudar seus valores próprios (autovalores), autespaços, multiplicidades algébrica e geométrica e, por fim, decidir se é diagonalizável. O conteúdo aqui é cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas e critério de diagonalização via igualdade entre soma das multiplicidades geométricas e dimensão do espaço.
Passo 2
Vamos primeiro achar a matriz de na base canônica .
Logo
Como A é triangular, o polinômio característico é
chiA(lambda)=(1-lambda)(3-lambda)(4-lambda)
Dessa forma os autovalores são lambda1=1, lambda2=3 e lambda3=4, cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 3
Agora, para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0 e obtemos o autespaço Elambdai:
A-lambda1I=0&2&-10&2&10&0&3
dá o sistema
2y-z=0,2y+z=0,3z=0
que implica y=z=0 e x livre.
Logo
E1=l(x,0,0)mid xinRr = span(1,0,0),
com dimensão (multiplicidade geométrica) igual a 1.
A-lambda2I=-2&2&-10&0&10&0&1
dá
z=0, -2x+2y=0implies y=x,
então
E3=l(x,x,0)mid xinRr = span(1,1,0),
com dimensão 1.
A-lambda3I=-3&2&-10&-1&10&0&0
dá
-y+z=0implies z=y, -3x+2y-z=0implies y=3x,
logo
E4=l(x,3x,3x)mid xinRr = span(1,3,3),
com dimensão 1.
Passo 4
Resumindo:
Autovalores: ;1,,3,,4.
Cada um tem multiplicidade algébrica 1.
Cada autespaço tem dimensão (multiplicidade geométrica) 1.
Como a soma das multiplicidades geométricas é 1+1+1=3=dimR^3, concluímos que T é diagonalizável.