Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 3 y+z, 4 z); (Joao Paulo)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y-z,;3y+z,;4z)
que a gente deve estudar seus valores próprios (autovalores), autespaços, multiplicidades algébrica e geométrica e, por fim, decidir se T é diagonalizável. O conteúdo aqui é cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas (A-lambda I)v=0 e critério de diagonalização via igualdade entre soma das multiplicidades geométricas e dimensão do espaço.

Passo 2

Vamos primeiro achar a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=(2,3,0), T(e3)=(-1,1,4)
Logo
A = 1 & 2 & -1 0 & 3 & 1 0 & 0 & 4
Como A é triangular, o polinômio característico é
chiA(lambda)=(1-lambda)(3-lambda)(4-lambda)
Dessa forma os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3 e lambda3=4, cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 3

Agora, para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0 e obtemos o autespaço Elambdai:
A-lambda1I=0&2&-10&2&10&0&3
dá o sistema
2y-z=0,2y+z=0,3z=0
que implica y=z=0 e x livre.
Logo
E1=l(x,0,0)mid xinRr = span(1,0,0),
com dimensão (multiplicidade geométrica) igual a 1.
A-lambda2I=-2&2&-10&0&10&0&1
z=0, -2x+2y=0implies y=x,
então
E3=l(x,x,0)mid xinRr = span(1,1,0),
com dimensão 1.
A-lambda3I=-3&2&-10&-1&10&0&0
-y+z=0implies z=y, -3x+2y-z=0implies y=3x,
logo
E4=l(x,3x,3x)mid xinRr = span(1,3,3),
com dimensão 1.

Passo 4

Resumindo:
  • Autovalores: ;1,,3,,4.
  • Cada um tem multiplicidade algébrica 1.
  • Cada autespaço tem dimensão (multiplicidade geométrica) 1.
Como a soma das multiplicidades geométricas é 1+1+1=3=dimR^3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autespaços:
lambda=1,;E1=span(1,0,0), lambda=3,;E3=span(1,1,0), lambda=4,;E4=span(1,3,3)
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio = 1.
Portanto, T é diagonalizável.

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