Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Jose Italo)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
O conteúdo é encontrar autovalores e autovetores (autoespaços), calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica e concluir se é diagonalizável. Vamos:
montar a matriz de na base canônica,
achar o polinômio característico,
fatorar e obter autovalores e suas multiplicidades algébrica,
para cada autovalor resolver e achar a dimensão do autespaço (multiplicidade geométrica),
verificar se soma das dimensões dos autespaços é 3.
Dos fatores seguem os autovalores e suas multiplicidades algébrica (ma): lambda1 = 2 com ma(2)=1, lambda2 = -1 com ma(-1)=1, lambda3 = -2 com ma(-2)=1.
Passo 5
Calculamos cada autoespaço e a respectiva multiplicidade geométrica ([m_g)):
Para ,
Dessas equações vem , logo
Para ,
Dá , por exemplo leva ao vetor , então
Para ,
Vem , por exemplo o vetor , então
Passo 6
Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1, e há três autovalores distintos totalizando dimensão 1+1+1=3, a soma das dimensões dos autoespaços é igual à dimensão do espaço. Portanto a transformação T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e multiplicidades algébricas: lambda=2,(ma=1), lambda=-1,(ma=1), lambda=-2,(ma=1).
Autoespaços e multiplicidades geométricas: E2=span(1,1,1),;mg(2)=1; E-1=span(2,-4,-1),;mg(-1)=1; E-2=span(1,-3,1),;mg(-2)=1