Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z); (Jose Italo)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3 definida por
T(x,y,z) = (,x+y,;x-y+2z,;2x+y-z,)
O conteúdo é encontrar autovalores e autovetores (autoespaços), calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica e concluir se T é diagonalizável. Vamos:
  1. montar a matriz de T na base canônica,
  2. achar o polinômio característico,
  3. fatorar e obter autovalores e suas multiplicidades algébrica,
  4. para cada autovalor resolver (A-lambda I)v=0 e achar a dimensão do autespaço (multiplicidade geométrica),
  5. verificar se soma das dimensões dos autespaços é 3.

Passo 2

Matriz de T na base canônica e1,e2,e3:
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 ,
pois
T(1,0,0)=(1,1,2), T(0,1,0)=(1,-1,1), T(0,0,1)=(0,2,-1)

Passo 3

O polinômio característico é
chi(lambda) = det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & 2 2 & 1 & -1-lambda
Calculando e simplificando, obtém-se
chi(lambda) = lambda^3 + lambda^2 -4lambda -4
Fatorando por tentativa de raízes inteiras, verifica-se que lambda=2 é raiz, e
lambda^3 + lambda^2 -4lambda -4 = (lambda-2)(lambda+1)(lambda+2)

Passo 4

Dos fatores seguem os autovalores e suas multiplicidades algébrica ( ma):
lambda1 = 2 com ma(2)=1,
lambda2 = -1 com ma(-1)=1,
lambda3 = -2 com ma(-2)=1.

Passo 5

Calculamos cada autoespaço e a respectiva multiplicidade geométrica ([m_g)):
Para ,
Dessas equações vem , logo
Para ,
, por exemplo leva ao vetor , então
Para ,
Vem , por exemplo o vetor , então

Passo 6

Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1, e há três autovalores distintos totalizando dimensão 1+1+1=3, a soma das dimensões dos autoespaços é igual à dimensão do espaço. Portanto a transformação T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e multiplicidades algébricas:
lambda=2,(ma=1), lambda=-1,(ma=1), lambda=-2,(ma=1).
Autoespaços e multiplicidades geométricas:
E2=span(1,1,1),;mg(2)=1;
E-1=span(2,-4,-1),;mg(-1)=1;
E-2=span(1,-3,1),;mg(-2)=1
Conclusão: T é diagonalizável.

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