Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T([lla & b c & d])=[cc2 a+b & 2 b 2 c & 3 d] ; (Leidiana)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores de
os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e então decidir se é diagonalizável.
Conteúdo: representação matricial em base canônica, polinômio característico, sistemas , comparação de multiplicidades.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
E11,E12,E21,E22 onde
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Calculando
T(E11)=2E11, T(E12)=E11+2E12, T(E21)=2E21, T(E22)=3E22,
vemos que a matriz de T nessa base é triangular, com diagonal (2,2,2,3).

Passo 3

O polinômio característico vem do produto dos termos lambda na diagonal:
chiT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-3)
Logo os autovalores são lambda=2 com multiplicidade algébrica ma(2)=3 e lambda=3 com ma(3)=1.

Passo 4

Para
Restam .

Passo 5

Para
.

Passo 6

Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas deve ser igual à dimensão do espaço ( 4), ou equivalentemente cada mg(lambda) deve igualar ma(lambda). Aqui
mg(2)=2<3=ma(2),
portanto faltou um autovetor para lambda=2. Logo T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e multiplicidades algébricas:
lambda=2 ( ma=3), lambda=3 ( ma=1).
Autoespaços e multiplicidades geométricas:
E2=spanE11,E21,;mg(2)=2; E3=spanE22,;mg(3)=1
Conclusão: T não é diagonalizável.

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