Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. (Leidiana)
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores de
os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e então decidir se é diagonalizável.
Conteúdo: representação matricial em base canônica, polinômio característico, sistemas , comparação de multiplicidades.
vemos que a matriz de T nessa base é triangular, com diagonal (2,2,2,3).
Passo 3
O polinômio característico vem do produto dos termos lambda na diagonal:
chiT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-3)
Logo os autovalores são lambda=2 com multiplicidade algébrica ma(2)=3 e lambda=3 com ma(3)=1.
Passo 4
Para
Restam .
Passo 5
Para
Só .
Passo 6
Para ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas deve ser igual à dimensão do espaço (4), ou equivalentemente cada mg(lambda) deve igualar ma(lambda). Aqui
mg(2)=2<3=ma(2),
portanto faltou um autovetor para lambda=2. Logo T não é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e multiplicidades algébricas: lambda=2 (ma=3), lambda=3 (ma=1).
Autoespaços e multiplicidades geométricas: