Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Luana)
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
encontrar seus autovalores, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica, e decidir se é diagonalizável. Vamos usar como base canônica de o conjunto , montar a matriz de , extrair os autovalores da diagonal (é triangular superior) e depois achar os autoespaços resolvendo .
Passo 2
Calcular em cada vetor da base:
Passo 3
Na base , a matriz de fica triangular superior:
Passo 4
Como M é triangular, os autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1=1, lambda2=1, lambda3=3, lambda4=7
Portanto as multiplicidades algébricas são
ma(1)=2, ma(3)=1, ma(7)=1
Passo 5
Agora achamos os autoespaços ker(M-lambda I):
Para lambda=1: (M-I)v=0 leva a v2=v3=v4=0, com v1 livre, logo
E1=span(1,0,0,0)Long<=ftrightarrow span1,
e assim mg(1)=1.
Para lambda=3: (M-3I)v=0 dá v2=2v1, v3=2v1, v4=0, com v1 livre, então
E3=span(1,2,2,0)Long<=ftrightarrow span1+2x+2x^2,
e mg(3)=1.
Para lambda=7: (M-7I)v=0 leva a v2=6v1, v3=18v1, v4=24v1, com v1 livre, logo
Comparando multiplicidades algébrica e geométrica, vemos que para lambda=1 temos ma(1)=2 mas mg(1)=1. Como há uma barreira geométrica, Tnão é diagonalizável.