Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P3(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=p(x)+p^prime(x)+x^2 p^prime prime(x); (Luana)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
Tcolon P3(R)to P3(R), Tl(p(x)r)=p(x)+p'(x)+x^2,p''(x)
encontrar seus autovalores, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica e geométrica, e decidir se T é diagonalizável. Vamos usar como base canônica de P3(R) o conjunto 1,x,x^2,x^3, montar a matriz de T, extrair os autovalores da diagonal (é triangular superior) e depois achar os autoespaços resolvendo (T-lambda I)v=0.

Passo 2

Calcular T em cada vetor da base:
T(1)&=1+0+ x^2cdot0=1, T(x)&=x+1+ x^2cdot0=1+x, T(x^2)&=x^2+2x+ x^2cdot2=3x^2+2x, T(x^3)&=x^3+3x^2+ x^2cdot6x=7x^3+3x^2

Passo 3

Na base 1,x,x^2,x^3, a matriz de T fica triangular superior:
M = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 7

Passo 4

Como M é triangular, os autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1=1, lambda2=1, lambda3=3, lambda4=7
Portanto as multiplicidades algébricas são
ma(1)=2, ma(3)=1, ma(7)=1

Passo 5

Agora achamos os autoespaços ker(M-lambda I):
  • Para lambda=1:
    (M-I)v=0 leva a v2=v3=v4=0, com v1 livre, logo
    E1=span(1,0,0,0)Long<=ftrightarrow span1,
    e assim mg(1)=1.
  • Para lambda=3:
    (M-3I)v=0 v2=2v1, v3=2v1, v4=0, com v1 livre, então
    E3=span(1,2,2,0)Long<=ftrightarrow span1+2x+2x^2,
    e mg(3)=1.
  • Para lambda=7:
    (M-7I)v=0 leva a v2=6v1, v3=18v1, v4=24v1, com v1 livre, logo
    E7=span(1,6,18,24)Long<=ftrightarrow span1+6x+18x^2+24x^3,
    e mg(7)=1.

Passo 6

Comparando multiplicidades algébrica e geométrica, vemos que para lambda=1 temos ma(1)=2 mas mg(1)=1. Como há uma barreira geométrica, T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
lambda=1;(ma=2,;mg=1), lambda=3;(ma=1,;mg=1), lambda=7;(ma=1,;mg=1)
Autoespaços:
E1=span1, E3=span1+2x+2x^2, E7=span1+6x+18x^2+24x^3
Conclusão: T não é diagonalizável.

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