Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3,tal que a matriz de T na base canônica é dada por [T]=[ccc2 & -1 & 1 0 & 3 & -1 2 & 1 & 3] ; (Maria Cristina)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T] = 2 & -1 & 1 0 & 3 & -1 2 & 1 & 3
Queremos achar os autovalores de A, os autoespaços associados, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Primeiro,
A-lambda I = 2-lambda & -1 & 1 0 & 3-lambda & -1 2 & 1 & 3-lambda
Fazendo a expansão por cofactores na primeira linha,
chiA(lambda) = (2-lambda)det!3-lambda & -11 & 3-lambda -(-1)det!0 & -12 & 3-lambda +1det!0 & 3-lambda2 & 1
Calculando cada determinante interno e simplificando, obtemos
chiA(lambda)=lambda^3-8lambda^2+20lambda-16=(lambda-2)^2(lambda-4)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiA:
lambda=2 com multiplicidade algébrica ma(2)=2
lambda=4 com multiplicidade algébrica ma(4)=1.

Passo 4

Para
Das duas primeiras equações vem . Logo
e a multiplicidade geométrica é .

Passo 5

Para
Da segunda equação . A primeira fica redundante. Logo
com multiplicidade geométrica .

Passo 6

Somando as multiplicidades geométricas temos mg(2)+mg(4)=1+1=2<3. Como não há três vetores próprios independentes, T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e multiplicidades:
lambda=2 com ma(2)=2, mg(2)=1;
lambda=4 com ma(4)=1, mg(4)=1.
Autoespaços:
E2=span(-1,1,1),
E4=span(-1,1,-1).
Portanto, T não é diagonalizável.

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