Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ,tal que a matriz de na base canônica é dada por (Maria Cristina)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T] = 2 & -1 & 1 0 & 3 & -1 2 & 1 & 3
Queremos achar os autovalores de A, os autoespaços associados, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Primeiro,
Os autovalores são as raízes de chiA: lambda=2 com multiplicidade algébrica ma(2)=2 lambda=4 com multiplicidade algébrica ma(4)=1.
Passo 4
Para
Das duas primeiras equações vem . Logo
e a multiplicidade geométrica é .
Passo 5
Para
Da segunda equação . A primeira fica redundante. Logo
com multiplicidade geométrica .
Passo 6
Somando as multiplicidades geométricas temos mg(2)+mg(4)=1+1=2<3. Como não há três vetores próprios independentes, Tnão é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e multiplicidades: lambda=2 com ma(2)=2, mg(2)=1; lambda=4 com ma(4)=1, mg(4)=1.
Autoespaços: E2=span(-1,1,1), E4=span(-1,1,-1).
Portanto, T não é diagonalizável.