Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. (Maria Leticia)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar os valores próprios (\emph{autovalores}), os autovetores (ou \emph{auto-espaços}), calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e decidir se é diagonalizável. Para isso, vamos usar a base canônica e obter a matriz de .
Passo 2
Em relação à base , um polinômio corresponde ao vetor coluna . Então
Da terceira equação vem , logo , enquanto é livre. Assim
com multiplicidade geométrica igual a .
Passo 5
Para
Da segunda equação vem dá . Logo
com multiplicidade geométrica igual a .
Passo 6
Resumindo: lambda=0 tem mult.\ algébrica 1 e geométrica 1. lambda=2 tem mult.\ algébrica 2 e geométrica 1.
Como a soma das dimensões dos auto-espaços é 1+1=2<3=dimP2, a transformação Tnão é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e seus auto-espaços: lambda=0, E0=span1, mult.\ alg.=1, geom.=1. lambda=2, E2=span1+x, mult.\ alg.=2, geom.=1.
Conclusão: T não é diagonalizável.