Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(a+b x+c x^2)=(2 b+c)+(2 b-c) x+2 c x^2 ; (Maria Leticia)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon P2(R) to P2(R), Tl(a + b x + c x^2r) = (2b+c) + (2b-c),x + 2c,x^2
Queremos encontrar os valores próprios (\emph{autovalores}), os autovetores (ou \emph{auto-espaços}), calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e decidir se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar a base canônica 1,x,x^2 e obter a matriz de T.

Passo 2

Em relação à base , um polinômio corresponde ao vetor coluna . Então
Logo a matriz de é
]

Passo 3

O polinômio característico de M é
chiM(lambda) =det(M - lambda I) =det -lambda & 2 & 1 0 & 2-lambda & -1 0 & 0 & 2-lambda =(-lambda),(2-lambda)^2
Dessa forma os autovalores são
lambda1 = 0(mu< algébrica 1), lambda2 = 2(mu< algébrica 2) éé

Passo 4

Para
Da terceira equação vem , logo , enquanto é livre. Assim
com multiplicidade geométrica igual a .

Passo 5

Para
Da segunda equação vem . Logo
com multiplicidade geométrica igual a .

Passo 6

Resumindo:
lambda=0 tem mult.\ algébrica 1 e geométrica 1.
lambda=2 tem mult.\ algébrica 2 e geométrica 1.
Como a soma das dimensões dos auto-espaços é 1+1=2<3=dimP2, a transformação T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e seus auto-espaços:
lambda=0, E0=span1, mult.\ alg. =1, geom. =1.
lambda=2, E2=span1+x, mult.\ alg. =2, geom. =1.
Conclusão: T não é diagonalizável.

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