Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=x p^prime(x)+p^prime prime(x) ;(Maria Yara)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T : P2(R)toP2(R) por
Tl(p(x)r)=x,p'(x)+p''(x)
Precisamos encontrar os autovalores lambda, os autoespaços Elambda=p:pneq0,;T(p)=lambda p, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda e decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico
p(x)=a + b,x + c,x^2,
onde a,b,cinR. Então
p'(x)=b+2c,x, p''(x)=2c
Logo
T(p)=x,(b+2c,x)+2c =b,x + 2c,x^2 + 2c

Passo 3

Para achar os autovalores, impomos
isto é
Igualando coeficientes de
Da segunda equação surge ou . Da terceira vem ou ou . Analisando todas as possibilidades concluímos que os únicos valores de que admitem solução não trivial são
Portanto o polinômio característico é
e as multiplicidades algébricas de são todas iguais a .

Passo 4

Determinamos cada autoespaço:
Para lambda=0
Temos b=0, c=0 e 2c=lambda,a=0 a livre.
E0 = a: p(x)=a = Span1,
com multiplicidade geométrica 1.
Para lambda=1
Da segunda equação vem b livre; da terceira 2c=c força c=0; da primeira 2c=1cdot a a=0.
E1 = b,x = Spanx,
com multiplicidade geométrica 1.
Para lambda=2
Da terceira equação 2c=2,c é trivial, então c livre; da segunda b=2b força b=0; da primeira 2c=2,a a=c.
E2 = a(1+x^2) = Span1+x^2,
com multiplicidade geométrica 1.

Passo 5

Como em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica (todas valem 1) e a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3=dimP2, a transformação T é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores são 0,1,2 (todos simples).
Os autoespaços:
E0=Span1,
E1=Spanx,
E2=Span1+x^2
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada um são 1.
Logo T é diagonalizável.

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