Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
(Maria Yara)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
T : por
T :
Precisamos encontrar os autovalores
, os autoespaços
, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada
e decidir se
é diagonalizável.
Passo 2
Escrevemos o polinômio genérico
onde
. Então
Logo
Passo 3
Para achar os autovalores, impomos
isto é
Igualando coeficientes de
Da segunda equação surge ou . Da terceira vem ou
ou
. Analisando todas as possibilidades concluímos que os únicos valores de
que admitem solução não trivial são
Portanto o polinômio característico é
e as multiplicidades algébricas de
são todas iguais a
.
Passo 4
Determinamos cada autoespaço:
Para
Temos ,
e
dá
livre.
Temos
com multiplicidade geométrica
.
Para
Da segunda equação vem livre; da terceira
força
; da primeira
dá
.
Da segunda equação vem
com multiplicidade geométrica
.
Para
Da terceira equação é trivial, então
livre; da segunda
força
; da primeira
dá
.
Da terceira equação
com multiplicidade geométrica
.
Passo 5
Como em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica (todas valem
) e a soma das dimensões dos autoespaços é
, a transformação
é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores são
(todos simples).
Os autoespaços:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada um são .
Logo é diagonalizável.
Os autoespaços:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada um são
Logo