Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T(A)=M A-A M, onde M=[cc-1 & 2 3 & -2] ; (Micaele)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores (autoespaços) da transformação linear
Tcolon M2(R)to M2(R), T(A)=M,A - A,M,
onde
M = -1 & 2[6pt]3 & -2
O conteúdo aqui é usar o fato de que, se M é diagonalizável com autovalores lambdai, então T age sobre a matriz canônica Eij por
T(Eij) = (lambdai - lambdaj),Eij
Vamos seguir este plano: ( 1) achar os autovalores de M; ( 2) diagonalizar M em uma base de autovetores; ( 3) ver como T atua em cada Eij; ( 4) listar autovalores e autoespaços de T; ( 5) calcular multiplicidades; ( 6) concluir sobre diagonalizabilidade de T.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de M resolvendo
det(M - mu I) = det-1-mu & 2 [4pt]3 & -2-mu = (-1-mu)(-2-mu)-6 = mu^2 +3mu -4 = 0
As raízes são
mu = -3 pm raiz9 +162 = -3 pm 52,
isto é,
lambda1 = 1, lambda2 = -4
Como lambda1neqlambda2, M é diagonalizável.]

Passo 3

Em uma base de autovetores v1,v2 de M, com M vi = lambdai vi, qualquer matriz A é escrita em blocos de coordenadas aij associadas a vimapsto vj. Tomando as matrizes canônicas Eij definidas por
Eij(vk) = de<ajk,vi,
vemos que
M,Eij(vk) = M(de<ajk vi) = de<ajk,lambdai,vi, Eij,M(vk) = Eij(lambdak vk) = de<aik,lambdak,vi
Logo
T(Eij) = M,Eij - Eij,M = (lambdai - lambdaj),Eij

Passo 4

Os autovalores de T aparecem então como diferenças lambdai-lambdaj. Como (i,j)in1,2^2, obtemos:
lambda1-lambda1 = 0, lambda2-lambda2 = 0, lambda1-lambda2 = 1 - (-4) = 5, lambda2-lambda1 = -4 - 1 = -5
Portanto:
  • Autovalor 0 com multiplicidade algébrica 2, autoespaço gerado por E11,E22.
  • Autovalor 5 com multiplicidade algébrica 1, autoespaço spanE12.
  • Autovalor -5 com multiplicidade algébrica 1, autoespaço spanE21.

Passo 5

Cada autoespaço tem dimensão igual à multiplicidade algébrica do respectivo autovalor, logo as multiplicidades geométricas coincidem:
mu< alg(0)=2,;mu< >=om(0)=2; mu< alg(5)=1,;mu< >=om(5)=1; mu< alg(-5)=1,;mu< >=om(-5)=1

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1+1=4, que é dim M2( R), concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores de T:
;0 (mult. alg. =2, mult. geom. =2), autoespaço A=diag(a,b);
;5 (mult. alg. =1, mult. geom. =1), autoespaço spanE12;
-5 (mult. alg. =1, mult. geom. =1), autoespaço spanE21.
T é diagonalizável.

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