Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x-3 y,-3 x+y); (Rikelmy)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
T:R^2longrightarrowR^2, T(x,y)=(2x-3y,,-3x+y)
encontrar os autovalores de T, os autovetores (autoespaços associados), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Em base canônica, a matriz de T é
A = 2 & -3 -3 & 1
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det2-lambda & -3-3 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-9

Passo 3

Expandindo o determinante, obtemos
chiA(lambda) =(2-lambda)(1-lambda)-9 =lambda^2-3lambda-7
Logo os autovalores vêm das raízes de
lambda^2-3lambda-7=0,
isto é,
lambda1,2 =3pmraiz9+282 =3pmraiz372

Passo 4

Como raiz37neq0, os dois autovalores
lambda1=3+raiz372, lambda2=3-raiz372
são distintos. Cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 5

Para achar o autoespaço de , resolvemos . Por exemplo, para temos
Da primeira linha vem , i.e.
Escolhendo , um autovetor associado a é
De forma análoga, para obtemos um autovetor
Cada autoespaço é de dimensão , então a multiplicidade geométrica de cada é .]

Passo 6

Resumindo:
  • Autovalores:
    lambda1=(3+raiz37)/2 e lambda2=(3-raiz37)/2.
  • Multiplicidade algébrica de cada um: 1.
  • Multiplicidade geométrica de cada um: 1.

Passo 7

Como há dois autovalores distintos em R^2, com soma das multiplicidades geométricas igual a 2, seguem dois autovetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores são
lambda1=3+raiz372, lambda2=3-raiz372,
cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Portanto T é diagonalizável.

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