Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Rikelmy)
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
encontrar os autovalores de , os autovetores (autoespaços associados), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e decidir se é diagonalizável.
Passo 2
Em base canônica, a matriz de é
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
são distintos. Cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 5
Para achar o autoespaço de , resolvemos . Por exemplo, para temos
Da primeira linha vem , i.e.
Escolhendo , um autovetor associado a é
De forma análoga, para obtemos um autovetor
Cada autoespaço é de dimensão , então a multiplicidade geométrica de cada é .]
Passo 6
Resumindo:
Autovalores: lambda1=(3+raiz37)/2 e lambda2=(3-raiz37)/2.
Multiplicidade algébrica de cada um: 1.
Multiplicidade geométrica de cada um: 1.
Passo 7
Como há dois autovalores distintos em R^2, com soma das multiplicidades geométricas igual a 2, seguem dois autovetores linearmente independentes. Logo T é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores são
lambda1=3+raiz372, lambda2=3-raiz372,
cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Portanto T é diagonalizável.