Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. .(Vitoria)
Passo 1
O enunciado pede que, para a transformação linear
– a gente encontre os autovalores (), os autoespaços associados, calcule para cada um sua multiplicidade algébrica e geométrica, e por fim conclua se é diagonalizável.
O conteúdo usado será a teoria de autovalores e autovetores: montagem da matriz de , cálculo do polinômio característico, resolução de , e comparação entre multiplicidade algébrica e dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica).
Para cada lambda=tfrac-1pmraiz132, o fator lambda^2+lambda-3 é simples, então cada autoespaço também terá dimensão 1 (geometricamente um parâmetro).
Assim, cada autovalor aparece com multiplicidade algébrica 1 e seu autoespaço tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1).
Passo 5
Uma transformação em R^3 é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for 3. Aqui elas são 1+1+1=3. Portanto T é diagonalizável.
Resposta
lambda1=3, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1;
autoespaço E3=span(-14,-1,9). lambda2=tfrac-1+raiz132, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autoespaço unidimensional. lambda3=tfrac-1-raiz132, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autoespaço unidimensional.
Logo T é diagonalizável.