Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y-3 z, x-2 y+z, 3 z).(Vitoria)

Passo 1

O enunciado pede que, para a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y-3z,;x-2y+z,;3z),
– a gente encontre os autovalores ( lambda), os autoespaços associados, calcule para cada um sua multiplicidade algébrica e geométrica, e por fim conclua se T é diagonalizável.
O conteúdo usado será a teoria de autovalores e autovetores: montagem da matriz de T, cálculo do polinômio característico, resolução de det(A-lambda I)=0, e comparação entre multiplicidade algébrica e dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica. Como
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,-2,0), T(0,0,1)=(-3,1,3),
temos
A = [T]rm can = 1 & 1 & -3 1 & -2 & 1 0 & 0 & 3

Passo 3

O polinômio característico é
chi(lambda)=det(A-lambda I) =det 1-lambda & 1 & -3 1 & -2-lambda & 1 0 & 0 & 3-lambda =(3-lambda)det 1-lambda & 1 1 & -2-lambda
Agora calculemos
det 1-lambda & 1 1 & -2-lambda =(1-lambda)(-2-lambda)-1 =lambda^2+lambda-3
Logo
chi(lambda)=(3-lambda)(lambda^2+lambda-3)
As raízes são
lambda1=3, lambda2,3=-1pmraiz1+122 =-1pmraiz132

Passo 4

Para cada autovalor, resolvemos (A-lambda I)v=0:
Para lambda=3:
A-3I = -2&1&-31&-5&10&0&0,
o sistema dá, usando parâmetro t=z,
y=2x+3t, x-5y+t=0;Rightarrow;x=-tfrac149t,;y=-tfrac19t,
logo
v=tl(-tfrac149,-tfrac19,1r) =s(-14,-1,9)
O autoespaço E3 é 1-dimensional.
Para cada lambda=tfrac-1pmraiz132, o fator lambda^2+lambda-3 é simples, então cada autoespaço também terá dimensão 1 (geometricamente um parâmetro).
Assim, cada autovalor aparece com multiplicidade algébrica 1 e seu autoespaço tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1).

Passo 5

Uma transformação em R^3 é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for 3. Aqui elas são 1+1+1=3. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

lambda1=3, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1;
autoespaço E3=span(-14,-1,9).
lambda2=tfrac-1+raiz132, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autoespaço unidimensional.
lambda3=tfrac-1-raiz132, com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autoespaço unidimensional.
Logo T é diagonalizável.

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