No espaço F das funções f: R R, mostre que os seguintes pares de funções são LI:
1, t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial F das funções RtoR, o conjunto 1,t é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição: duas funções phi1,phi2 são LI se, sempre que
alpha,phi1(t)+beta,phi2(t)=0forall tinR,
então alpha=beta=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,betainR tais que, para todo tinR,
alphacdot1+betacdot t=0
Isto é, a função polinomial
p(t)=alpha+beta,t
é identicamente zero em R.

Passo 3

Avalie em t=0. Da igualdade alpha+betacdot0=0 segue
alpha=0

Passo 4

Com alpha=0, a relação vira beta,t=0 para todo t. Escolhendo t=1 temos
betacdot1=0implies beta=0

Resposta

Como a única solução para alpha e beta é alpha=beta=0, as funções 1 e t são linearmente independentes.

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