Encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão do conjunto de dados populacional.
12 09 07 05 07 08 10 04 11 06
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Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para o conjunto de dados populacional dado: amplitude, média, variância populacional e desvio padrão populacional. Os dados fornecidos são (peguei os valores do enunciado):
Vou listar claramente o que cada pedido significa (sem resolver ainda):
- Amplitude: diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.
- Média: a média aritmética dos valores (média populacional).
- Variância populacional: medida da dispersão em relação à média, calculada dividindo pela população total
(não por ). - Desvio padrão populacional: raiz quadrada da variância populacional.
Passo 2
Contar quantos valores há e calcular a amplitude.
- Número de elementos (tamanho da população):
- Máximo e mínimo do conjunto:
- Amplitude (range) é a diferença:
Passo 3
Calcular a média aritmética e explicar a fórmula.
- Fórmula da média populacional: se os dados são
, a média é
onde
é a média e
é o número de observações.
- Soma dos dados (vou mostrar a adição passo a passo para poder fazer sem calculadora):
Portanto
- Média:
Passo 4
Explicar duas formas de obter a variância populacional e usar uma para calcular (vou usar a forma prática que facilita as contas).
- Definição direta da variância populacional:
onde
é a variância populacional e cada termo
é o quadrado da diferença entre o dado e a média.
- Fórmula alternativa (computacional) que economiza trabalho:
ou seja, primeiro calcula-se a média dos quadrados e subtrai-se o quadrado da média. Vou usar essa forma para checar os cálculos e depois mostro a soma dos quadrados das diferenças como verificação.
Passo 5
Calcular
passo a passo e aplicar a fórmula alternativa.
- Quadrados dos valores e soma (passo a passo):
Logo
- Aplicando a fórmula alternativa:
Calcular cada termo:
Portanto
Passo 6
Verificação calculando diretamente as diferenças em relação à média e seus quadrados (mostro para você ver que bate).
- Para cada
calcule e :
- Soma dos quadrados das diferenças:
- Dividindo por
obtemos a mesma variância:
Passo 7
Calcular o desvio padrão populacional e explicar o motivo de tirar a raiz.
- Desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
- Aproximação manual:
e , então fica entre e , mais perto de . Aproximando com três casas decimais:
Resposta
Amplitude:
Média:
Variância populacional:
Desvio padrão populacional:
Média:
Variância populacional:
Desvio padrão populacional: