Encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão do conjunto de dados populacional.
12 09 07 05 07 08 10 04 11 06

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para o conjunto de dados populacional dado: amplitude, média, variância populacional e desvio padrão populacional. Os dados fornecidos são (peguei os valores do enunciado):
12,\;9,\;7,\;5,\;7,\;8,\;10,\;4,\;11,\;6.
Vou listar claramente o que cada pedido significa (sem resolver ainda):
  • Amplitude: diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.
  • Média: a média aritmética dos valores (média populacional).
  • Variância populacional: medida da dispersão em relação à média, calculada dividindo pela população total N (não por N-1).
  • Desvio padrão populacional: raiz quadrada da variância populacional.

Passo 2

Contar quantos valores há e calcular a amplitude.
  • Número de elementos (tamanho da população):
N=10.
  • Máximo e mínimo do conjunto:
\max=12,\qquad \min=4.
  • Amplitude (range) é a diferença:
\text{Amplitude}=\max-\min=12-4=8.

Passo 3

Calcular a média aritmética e explicar a fórmula.
  • Fórmula da média populacional: se os dados são x_1,x_2,\dots,x_N, a média é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde \bar{x} é a média e N é o número de observações.
  • Soma dos dados (vou mostrar a adição passo a passo para poder fazer sem calculadora):
\begin{aligned} 12+9&=21,\\\\ 21+7&=28,\\\\ 28+5&=33,\\\\ 33+7&=40,\\\\ 40+8&=48,\\\\ 48+10&=58,\\\\ 58+4&=62,\\\\ 62+11&=73,\\\\ 73+6&=79. \end{aligned}
Portanto
\sum_{i=1}^{10} x_i =79.
  • Média:
\bar{x}=\frac{79}{10}=7{,}9.

Passo 4

Explicar duas formas de obter a variância populacional e usar uma para calcular (vou usar a forma prática que facilita as contas).
  • Definição direta da variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2,
onde \sigma^2 é a variância populacional e cada termo (x_i-\bar{x})^2 é o quadrado da diferença entre o dado e a média.
  • Fórmula alternativa (computacional) que economiza trabalho:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2 - \bar{x}^2,
ou seja, primeiro calcula-se a média dos quadrados e subtrai-se o quadrado da média. Vou usar essa forma para checar os cálculos e depois mostro a soma dos quadrados das diferenças como verificação.

Passo 5

Calcular \sum x_i^2 passo a passo e aplicar a fórmula alternativa.
  • Quadrados dos valores e soma (passo a passo):
\begin{aligned} 12^2&=144,\\\\ 9^2&=81,\quad 144+81=225,\\\\ 7^2&=49,\quad 225+49=274,\\\\ 5^2&=25,\quad 274+25=299,\\\\ 7^2&=49,\quad 299+49=348,\\\\ 8^2&=64,\quad 348+64=412,\\\\ 10^2&=100,\quad 412+100=512,\\\\ 4^2&=16,\quad 512+16=528,\\\\ 11^2&=121,\quad 528+121=649,\\\\ 6^2&=36,\quad 649+36=685. \end{aligned}
Logo
\sum_{i=1}^{10} x_i^2 =685.
  • Aplicando a fórmula alternativa:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2 - \bar{x}^2 = \frac{685}{10} - (7{,}9)^2.
Calcular cada termo:
\frac{685}{10}=68{,}5, \qquad (7{,}9)^2=62{,}41.
Portanto
\sigma^2 = 68{,}5 - 62{,}41 = 6{,}09.

Passo 6

Verificação calculando diretamente as diferenças em relação à média e seus quadrados (mostro para você ver que bate).
  • Para cada x_i calcule d_i = x_i-\bar{x} e d_i^2:
\begin{aligned} 12-7{,}9&=4{,}1,\quad &(4{,}1)^2&=16{,}81,\\\\ 9-7{,}9&=1{,}1,\quad &(1{,}1)^2&=1{,}21,\\\\ 7-7{,}9&=-0{,}9,\quad &(-0{,}9)^2&=0{,}81,\\\\ 5-7{,}9&=-2{,}9,\quad &(-2{,}9)^2&=8{,}41,\\\\ 7-7{,}9&=-0{,}9,\quad &(-0{,}9)^2&=0{,}81,\\\\ 8-7{,}9&=0{,}1,\quad &(0{,}1)^2&=0{,}01,\\\\ 10-7{,}9&=2{,}1,\quad &(2{,}1)^2&=4{,}41,\\\\ 4-7{,}9&=-3{,}9,\quad &(-3{,}9)^2&=15{,}21,\\\\ 11-7{,}9&=3{,}1,\quad &(3{,}1)^2&=9{,}61,\\\\ 6-7{,}9&=-1{,}9,\quad &(-1{,}9)^2&=3{,}61. \end{aligned}
  • Soma dos quadrados das diferenças:
16{,}81+1{,}21+0{,}81+8{,}41+0{,}81+0{,}01+4{,}41+15{,}21+9{,}61+3{,}61=60{,}90.
  • Dividindo por N=10 obtemos a mesma variância:
\sigma^2=\frac{60{,}90}{10}=6{,}09.

Passo 7

Calcular o desvio padrão populacional e explicar o motivo de tirar a raiz.
  • Desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{6{,}09}.
  • Aproximação manual: 2{,}46^2=6{,}0516 e 2{,}47^2=6{,}1009, então \sqrt{6{,}09} fica entre 2{,}46 e 2{,}47, mais perto de 2{,}47. Aproximando com três casas decimais:
\sigma\approx 2{,}468.

Resposta

Amplitude: 8
Média: 7{,}9
Variância populacional: 6{,}09
Desvio padrão populacional: \approx 2{,}468

Exercícios relacionados