Encontre o ângulo entre os planos pi1: x - 2y + 2z = 4 e pi2: 3x + y - z = 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os planos π₁: x – 2y + 2z = 4 e π₂: 3x + y – z = 1. Esse conteúdo faz parte de geometria analítica no espaço e, para resolver, vamos precisar obter os vetores normais de cada plano e usar a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Para cada plano, identificamos seu vetor normal tirando os coeficientes de x, y e z. Assim, obtemos
n1 = (1,,-2,,2),
n2 = (3,,1,,-1)

Passo 3

Sabendo que o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Sejam n₁ e n₂ os normais, então
costheta = |n1 cdot n2||n1|,|n2|

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
n1 cdot n2 = 1cdot3 + (-2)cdot1 + 2cdot(-1) = 3 - 2 - 2 = -1,
|n1| = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz9 = 3,
|n2| = raiz3^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz11
Então
costheta = |-1|3,raiz11 = 13raiz11

Passo 5

Para finalizar, aplicamos a função arco cosseno para obter o ângulo:
theta = arccos! gl(13raiz11gr)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac13raiz11r)approx 84,3^circ

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