Qual é o ponto de intersecção entre o plano x + y + z = 6 e a reta de equação paramétrica x = 1 + t, y = 2 - t e z = t?

Passo 1

O exercício pede o ponto de intersecção entre o plano x+y+z=6 e a reta dada por x=1+t, y=2-t, z=t. O conteúdo é Geometria Analítica e vamos precisar usar a ideia de que um ponto está na reta e no plano simultaneamente.

Passo 2

Para encontrar o ponto de intersecção, basta substituir as expressões paramétricas de x,y,z da reta na equação do plano e resolver para o parâmetro t. Isso porque um ponto na reta corresponde a um certo valor de t, e queremos que esse mesmo ponto satisfaça a equação do plano.

Passo 3

Substituindo, temos:

Passo 4

(1+t)+(2-t)+(t)=6

Passo 5

Somando os termos:

Passo 6

3 + t = 6

Passo 7

Isolando t:

Passo 8

t = 6 - 3 = 3

Passo 9

Agora, para t=3, o ponto na reta é

Passo 10

x = 1 + 3 = 4, y = 2 - 3 = -1, z = 3

Passo 11

Logo, o ponto de intersecção é (4,-1,3).

Resposta

(4, -1, 3)

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