Encontre o centro e o raio das superfícies esféricas dadas por:
(a)
(b)
©
(a)
Passo 1
Temos três equações que representam superfícies esféricas e queremos encontrar o centro e o raio de cada uma. O conteúdo envolvido é a forma padrão da esfera, que é dada por
onde
é o centro e
é o raio. Para chegar nessa forma, vamos agrupar termos de mesma variável e completar o quadrado.
Passo 2
Para a parte (a), a equação é
Agrupando e completando o quadrado em
e
:
Substituindo de volta na equação:
Logo,
Isto mostra que o centro é
e o raio é
.
Passo 3
Na parte (b), a equação é
Agrupando e completando o quadrado em cada variável:
Substituindo:
que simplifica para
Daí o centro é
e o raio é
.
Passo 4
Na parte ©, a equação dada é
Primeiro dividimos tudo por
:
Agora completamos o quadrado em
e
:
Substituindo:
Os termos constantes somam
, então
Isto dá centro
e raio
.
Resposta
(a) centro
, raio
;
(b) centro , raio
;
© centro , raio
.
(b) centro
© centro