Encontre o centro e o raio das superfícies esféricas dadas por:
(a)
x^2+y^2+z^2-6 y+8 z=0
(b)
z^2+y^2+x^2+6 z+2 y-2 x+9=0
©
2 x^2+2 y^2+2 z^2+2 y-2 z-9=0

Passo 1

Temos três equações que representam superfícies esféricas e queremos encontrar o centro e o raio de cada uma. O conteúdo envolvido é a forma padrão da esfera, que é dada por
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
onde (a,b,c) é o centro e R é o raio. Para chegar nessa forma, vamos agrupar termos de mesma variável e completar o quadrado.

Passo 2

Para a parte (a), a equação é
x^2+y^2+z^2-6y+8z=0
Agrupando e completando o quadrado em y e z:
y^2-6y=(y-3)^2-9,
z^2+8z=(z+4)^2-16
Substituindo de volta na equação:
x^2+(y-3)^2-9+(z+4)^2-16=0
Logo,
x^2+(y-3)^2+(z+4)^2=25
Isto mostra que o centro é (0,3,-4) e o raio é 5.

Passo 3

Na parte (b), a equação é
x^2+y^2+z^2-2x+2y+6z+9=0
Agrupando e completando o quadrado em cada variável:
x^2-2x=(x-1)^2-1,
y^2+2y=(y+1)^2-1,
z^2+6z=(z+3)^2-9
Substituindo:
(x-1)^2-1+(y+1)^2-1+(z+3)^2-9+9=0
que simplifica para
(x-1)^2+(y+1)^2+(z+3)^2=2
Daí o centro é (1,-1,-3) e o raio é raiz2.

Passo 4

Na parte ©, a equação dada é
2x^2+2y^2+2z^2+2y-2z-9=0
Primeiro dividimos tudo por 2:
x^2+y^2+z^2+y-z-92=0
Agora completamos o quadrado em y e z:
y^2+y=(y+tfrac12)^2-tfrac14,
z^2-z=(z-tfrac12)^2-tfrac14
Substituindo:
x^2+(y+tfrac12)^2-tfrac14+(z-tfrac12)^2-tfrac14-tfrac92=0
Os termos constantes somam -tfrac14-tfrac14-tfrac92)=-5, então
x^2+(y+tfrac12)^2+(z-tfrac12)^2=5
Isto dá centro (0,-tfrac12,tfrac12) e raio raiz5.

Resposta

(a) centro (0,3,-4), raio 5;
(b) centro (1,-1,-3), raio raiz2;
© centro (0,-tfrac12,tfrac12), raio raiz5.

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