resolva o problema de valor inicial.
(tg y-2) d x+(x sec ^2 y+1 / y) d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial no formato de 1-forma \r
(tan y - 2),dx + l(xsec^2y + tfrac1yr),dy = 0 \r
com condição inicial y(0)=1. \r
O conteúdo é de equações exatas: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, achar a função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos \r
;M(x,y)=tan y - 2, N(x,y)=xsec^2y + tfrac1y \r
Calculamos as derivadas parciais: \r
partial Mpartial y=sec^2y, partial Npartial x=sec^2y \r
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Psi(x,y) tal que \r
partial Psipartial x=M=tan y - 2 \r
Integramos em x tratando y como constante: \r
Psi(x,y)=x(tan y - 2)+h(y)

Passo 4

Agora impomos \r
partial Psipartial y=xsec^2y + h'(y)stackrel!=N=xsec^2y + tfrac1y \r
Logo \r
h'(y)=tfrac1yLongrightarrow h(y)=ln y

Passo 5

A solução geral implícita é \r
Psi(x,y)=x(tan y - 2)+ln y = C

Passo 6

Aplicando a condição x=0,,y=1: \r
0cdot(tan1-2)+ln1 = 0 Longrightarrow C=0

Resposta

A solução do problema de valor inicial, em forma implícita, é \r
boxedx(tan y - 2)+ln y=0 \r
Ou, isolando x: \r
boxedx=-ln ytan y -2

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