Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(x^{3}+x+2\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou antiderivada) de
\int\bigl(x^{3}+x+2\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de polinômios, em que vamos usar
  1. a linearidade da integral,
  2. a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1),
  3. a regra da constante \displaystyle \int a\,dx = a\,x.

Passo 2

Usando a linearidade, separamos em três partes e aplicamos as regras:
\int\bigl(x^{3}+x+2\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int x\,dx + \int 2\,dx.
Agora, aplicando a regra de potência e a da constante:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 2\,dx = 2x.

Passo 3

Somando essas parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos:
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.

Resposta

\displaystyle F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C

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