Encontre uma antiderivada F(x) para f(x)=x^2 cos (x^3) tal que F(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede uma função F tal que F'(x)=f(x)=x^2cosl(x^3r) e que satisfaça a condição inicial F(0)=1. O conteúdo principal é encontrar uma antiderivada por meio de substituição.

Passo 2

Escrevemos
F(x)=integral x^2cosl(x^3r),dx
Fazemos a mudança de variável u=x^3. Então du=3x^2,dx, isto é
x^2,dx=du3
Substituindo na integral obtemos
integral x^2cosl(x^3r),dx =13integral cos(u),du

Passo 3

Sabemos que
integral cos(u),du=sin(u)+C
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integral x^2cosl(x^3r),dx =13sin(u)+C =13sinl(x^3r)+C

Passo 4

Para determinar C, usamos F(0)=1. Como sin(0)=0, temos
F(0)=13sin(0)+C=C=1
Portanto C=1.

Resposta

F(x)=13sinl(x^3r)+1

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