Encontre a antitransformação de Laplace da função:
L^-11s^3+2 s^2-15 s

Passo 1

O enunciado pede a antitransformada de Laplace da função
1s^3+2s^2-15s
O conteúdo que vamos usar é fatoração do polinômio no denominador, decomposição em frações parciais e as transformadas inversas conhecidas de 1/s, 1/(s+a) e 1/(s-a).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^3+2s^2-15s = s,(s^2+2s-15) = s,(s+5),(s-3)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
1s,(s+5),(s-3) = As + Bs+5 + Cs-3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por s(s+5)(s-3) e igualando numeradores, obtemos
1 = A,(s+5)(s-3) + B,s,(s-3) + C,s,(s+5)
Expandindo,
1 = (A+B+C),s^2 + (2A-3B+5C),s -15A
Igualando coeficientes:
A + B + C = 0, 2A - 3B + 5C = 0, -15A = 1

Passo 5

Da terceira equação vem
A = -tfrac115
Substituindo em A+B+C=0 B+C=1/15.
Substituindo em 2A-3B+5C=0 -2/15 -3B +5C=0, ou seja -3B+5C=2/15.
Resolvendo esse sistema obtemos
C = tfrac124, B = tfrac140

Passo 6

Como sabemos que
L^-11/s=1,
L^-11/(s+5)=e^-5t e
L^-11/(s-3)=e^3t,
a antitransformada é
f(t) = -tfrac115cdot 1 ;+; tfrac140,e^-5t ;+; tfrac124,e^3t

Resposta

-115 + 140e^-5t + 124e^3t

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