Resolva a equação:
l Y^prime prime-3 y^prime+2 y=1 Y(0)=0 Y^prime(0)=1
Sem usar a transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
y'' - 3y' + 2y = 1
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo envolvido é o método de solução de EDOs lineares: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular, e finalmente ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Vamos resolver a equação homogênea associada
y'' - 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0,
cujos raízes são r=1 e r=2. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o termo independente é constante igual a 1, tentamos
yp(t) = A, AinR
Derivando temos yp'=0 e yp''=0. Substituindo em
y'' - 3y' + 2y = 1
vem
0 - 3cdot 0 + 2A = 1 Longrightarrow 2A = 1 Longrightarrow A = tfrac12
Assim
yp(t) = tfrac12

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2t + tfrac12

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro em
Em seguida, calculamos a derivada
e impomos :
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda obtemos .

Resposta

boxedy(t) = -2e^t + tfrac32,e^2t + tfrac12

Exercícios relacionados