Resolva a equação:
Sem usar a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
sujeita às condições iniciais
O conteúdo envolvido é o método de solução de EDOs lineares: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular, e finalmente ajustamos as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Vamos resolver a equação homogênea associada
A equação característica é
cujos raízes são
e
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para a equação não homogênea. Como o termo independente é constante igual a
, tentamos
Derivando temos
e
. Substituindo em
vem
Assim
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro em
Em seguida, calculamos a derivada
e impomos
:
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda obtemos .