Encontre a antitransformação de Laplace da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a antitransformação de Laplace da função
. Isso significa que vamos transformar essa função do domínio de
de volta para o domínio do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a decomposição. O denominador é
. Podemos fatorar esse polinômio:
Agora, vamos fatorar o trinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os valores são:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a antitransformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
Aplicando isso aos termos:
Passo 7
Finalmente, juntamos todos os termos para obter a antitransformada de Laplace da função original:
Resposta
A antitransformação de Laplace da função dada é: