Encontre a antitransformação de Laplace da função:
L^-11s^3+5 s^2-6 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a antitransformação de Laplace da função 1s^3+5 s^2-6 s. Isso significa que vamos transformar essa função do domínio de s de volta para o domínio do tempo t. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a decomposição. O denominador é s^3 + 5s^2 - 6s. Podemos fatorar esse polinômio:
s^3 + 5s^2 - 6s = s(s^2 + 5s - 6)
Agora, vamos fatorar o trinômio quadrático s^2 + 5s - 6. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 5. Esses números são 6 e -1:
s^2 + 5s - 6 = (s + 6)(s - 1)
Portanto, o denominador fatorado fica:
s^3 + 5s^2 - 6s = s(s + 6)(s - 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
1s(s + 6)(s - 1) = As + Bs + 6 + Cs - 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação por s(s + 6)(s - 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(s + 6)(s - 1) + B(s)(s - 1) + C(s)(s + 6)
Agora, podemos escolher valores de s que simplifiquem a equação:
  • Para s = 0:
1 = A(0 + 6)(0 - 1) + B(0)(0 - 1) + C(0)(0 + 6) Rightarrow 1 = A(6)(-1) Rightarrow 1 = -6A Rightarrow A = -16
  • Para s = -6:
1 = A(-6 + 6)(-6 - 1) + B(-6)(-6 - 1) + C(-6)(-6 + 6) Rightarrow 1 = B(-6)(-7) Rightarrow 1 = 42B Rightarrow B = 142
  • Para s = 1:
1 = A(1 + 6)(1 - 1) + B(1)(1 - 1) + C(1)(1 + 6) Rightarrow 1 = C(1)(7) Rightarrow 1 = 7C Rightarrow C = 17
Então, os valores são:
A = -16, B = 142, C = 17

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
1s(s + 6)(s - 1) = -16 cdot 1s + 142 cdot 1s + 6 + 17 cdot 1s - 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar a antitransformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
L^-11s = 1
L^-11s + a = e^-a t
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso aos termos:
L^-1-16 cdot 1s = -16 cdot 1 = -16
L^-1142 cdot 1s + 6 = 142 cdot e^-6 t
L^-117 cdot 1s - 1 = 17 cdot e^t

Passo 7

Finalmente, juntamos todos os termos para obter a antitransformada de Laplace da função original:
L^-11s^3+5 s^2-6 s = -16 + 142 e^-6 t + 17 e^t

Resposta

A antitransformação de Laplace da função dada é:
L^-11s^3+5 s^2-6 s = -16 + 142 e^-6 t + 17 e^t

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