Encontre a equação do plano tangente à superfície
e^{y^{2}}=x y+z no ponto (0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
e^{y^{2}} = x y + z
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (0,1,1).
Informações importantes do enunciado:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;e^{y^{2}} = x y + z.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é \;(0,1,1).
  • O que se pede é a equação do plano tangente nesse ponto (uma equação linear em x,y,z que toque a superfície em (0,1,1)).

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática sem pular etapas):
Quando uma superfície é dada por uma equação do tipo \;F(x,y,z)=0, o vetor gradiente de F em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Um plano tangente em um ponto tem como normal esse vetor gradiente. Portanto a equação do plano tangente pode ser escrita como o produto escalar entre o gradiente de F no ponto e o vetor deslocamento (x-x_0,y-y_0,z-z_0) igual a zero:
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Aqui eu estou usando a função
F(x,y,z)=e^{y^{2}}-xy-z,
que é igual a zero exatamente na superfície dada. Agora vou calcular \nabla F e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de F. Primeiro defino explicitamente
F(x,y,z)=e^{y^{2}}-xy-z.
Agora cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a x: tratando y e z como constantes, o termo e^{y^{2}} é constante e -xy -y. Logo
\frac{\partial F}{\partial x} = -y.
  • Derivada parcial em relação a y: o termo e^{y^{2}} depende de y. Usa-se a regra da cadeia: a derivada de e^{y^{2}} em relação a y é e^{y^{2}} multiplicada pela derivada de y^{2}, que é 2y. Portanto esse termo contribui com 2y\,e^{y^{2}}. O termo -xy derivado em relação a y -x. O termo -z é constante em y. Assim
\frac{\partial F}{\partial y} = 2y\,e^{y^{2}} - x.
  • Derivada parcial em relação a z: apenas o termo -z depende de z, então
\frac{\partial F}{\partial z} = -1.
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\left(-y,\;2y\,e^{y^{2}}-x,\;-1\right).

Passo 4

Avaliação do gradiente no ponto (0,1,1). Substituo x=0, y=1, z=1 nas componentes do gradiente:
  • \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(0,1,1) = -y\big|_{y=1} = -1.
  • \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(0,1,1) = 2y\,e^{y^{2}}-x\big|_{(x,y)=(0,1)} = 2\cdot 1 \cdot e^{1} - 0 = 2e.
  • \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}(0,1,1) = -1.
Logo
\nabla F(0,1,1)=(-1,\;2e,\;-1).

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar:
\nabla F(0,1,1)\cdot (x-0,y-1,z-1)=0.
Substituindo as componentes do gradiente:
(-1)(x-0) + (2e)(y-1) + (-1)(z-1)=0.
Ou seja,
- x + 2e(y-1) - (z-1) = 0.

Passo 6

Simplificar a equação para uma forma mais habitual (por exemplo isolando z). Desenvolvendo os termos:
- x + 2e y - 2e - z + 1 = 0.
Rearranjando para isolar z:
- z = x - 2e y + 2e - 1,
portanto
z = -x + 2e y + (1-2e).
É sempre bom checar rapidamente que o ponto (0,1,1) satisfaz a equação: substituindo x=0,y=1 z = -0 + 2e\cdot 1 + (1-2e) = 1, ok — a conta bate.

Resposta

z = -x + 2e\,y + (1-2e)

Exercícios relacionados