Encontre a equação do plano tangente à superfície e^{y^{2}}=x y+z no ponto (0,1,1).
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e^{y^{2}} = x y + z
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (0,1,1).
Informações importantes do enunciado:
A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;e^{y^{2}} = x y + z.
O ponto onde queremos o plano tangente é \;(0,1,1).
O que se pede é a equação do plano tangente nesse ponto (uma equação linear em x,y,z que toque a superfície em (0,1,1)).
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática sem pular etapas):
Quando uma superfície é dada por uma equação do tipo \;F(x,y,z)=0, o vetor gradiente de F em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Um plano tangente em um ponto tem como normal esse vetor gradiente. Portanto a equação do plano tangente pode ser escrita como o produto escalar entre o gradiente de F no ponto e o vetor deslocamento (x-x_0,y-y_0,z-z_0) igual a zero:
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Aqui eu estou usando a função
F(x,y,z)=e^{y^{2}}-xy-z,
que é igual a zero exatamente na superfície dada. Agora vou calcular \nabla F e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de F. Primeiro defino explicitamente
F(x,y,z)=e^{y^{2}}-xy-z.
Agora cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a x: tratando y e z como constantes, o termo e^{y^{2}} é constante e -xy dá -y. Logo
\frac{\partial F}{\partial x} = -y.
Derivada parcial em relação a y: o termo e^{y^{2}} depende de y. Usa-se a regra da cadeia: a derivada de e^{y^{2}} em relação a y é e^{y^{2}} multiplicada pela derivada de y^{2}, que é 2y. Portanto esse termo contribui com 2y\,e^{y^{2}}. O termo -xy derivado em relação a y dá -x. O termo -z é constante em y. Assim