Encontre uma aproximação numérica para o seguinte problema não linear de três equações e três incógnitas:
\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2} & =\cos \left(x_{1}\right) \\\\ -x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =\cos \left(x_{2}\right) \\\\ -x_{2}+x_{3} & =\cos \left(x_{3}\right) \end{aligned}
Partindo das seguintes aproximações iniciais:
\mathbf{x}^{(0)}=[1,1,1]^{T}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não linear de três equações e três incógnitas
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=\cos(x_{1}),\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}-x_{3}=\cos(x_{2}),\\\\ -\,x_{2}+x_{3}=\cos(x_{3}), \end{cases}
usando-se aproximações sucessivas a partir de \mathbf{x}^{(0)}=[1,1,1]^{T}. O método mais eficiente é o de Newton para sistemas, que exige a definição do vetor de funções F e da Jacobiana J, além da iteração
\mathbf{x}^{(k+1)}=\mathbf{x}^{(k)}-J\bigl(\mathbf{x}^{(k)}\bigr)^{-1}F\bigl(\mathbf{x}^{(k)}\bigr).

Passo 2

Definimos
F(\mathbf{x})=\\ \begin{pmatrix} 2x_{1}-x_{2}-\cos(x_{1})\\[6pt] -\,x_{1}+2x_{2}-x_{3}-\cos(x_{2})\\[6pt] -\,x_{2}+x_{3}-\cos(x_{3}) \end{pmatrix}, \quad J(\mathbf{x})=\\ \begin{pmatrix} 2+\sin(x_{1}) & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2+\sin(x_{2}) & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1+\sin(x_{3}) \end{pmatrix}.]

Passo 3

Em \mathbf{x}^{(0)}=[1,1,1]^{T} temos
F(\mathbf{x}^{(0)})\approx \begin{pmatrix} 2\cdot1-1-\cos(1)\\\\ -1+2\cdot1-1-\cos(1)\\\\ -1+1-\cos(1) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0{,}4597\\\\ -0{,}5403\\\\ -0{,}5403 \end{pmatrix},
J(\mathbf{x}^{(0)})\approx \begin{pmatrix} 2+\sin(1) & -1 & 0\\\\ -1 & 2+\sin(1) & -1\\\\ 0 & -1 & 1+\sin(1) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 2{,}8415 & -1 & 0\\\\ -1 & 2{,}8415 & -1\\\\ 0 & -1 & 1{,}8415 \end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema linear
J(\mathbf{x}^{(0)})\,\Delta\mathbf{x}^{(0)}=F(\mathbf{x}^{(0)})
por eliminação de Gauss, obtém-se
\Delta\mathbf{x}^{(0)}\approx \begin{pmatrix} 0{,}0403\\\\ -0{,}3453\\\\ -0{,}4812 \end{pmatrix},
e portanto
\mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{x}^{(0)}-\Delta\mathbf{x}^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 0{,}9597\\\\ 1{,}3453\\\\ 1{,}4812 \end{pmatrix}.

Passo 4

Repetindo o procedimento em \mathbf{x}^{(1)}, calcula-se F(\mathbf{x}^{(1)}) e J(\mathbf{x}^{(1)}), monta-se
J(\mathbf{x}^{(1)})\,\Delta\mathbf{x}^{(1)}=F(\mathbf{x}^{(1)})
e encontra-se
\Delta\mathbf{x}^{(1)}\approx \begin{pmatrix} 0{,}00857\\\\ 0{,}02357\\\\ 0{,}03483 \end{pmatrix}.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}=\mathbf{x}^{(1)}-\Delta\mathbf{x}^{(1)} \approx \begin{pmatrix} 0{,}9511\\\\ 1{,}3217\\\\ 1{,}4464 \end{pmatrix}.
O vetor \mathbf{x}^{(2)} já reduz o resíduo F(\mathbf{x}) a valores da ordem de 10^{-4}, satisfazendo boa precisão.

Resposta

\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix} 0{,}9511\\\\ 1{,}3217\\\\ 1{,}4464 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados