Faça o que se pede:
Encontre o gradiente da função
f(x, y)=x^{2} y+\cos (x y)-4

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y)=x^{2}y+\cos(xy)-4.
O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de gradiente em duas variáveis.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é o vetor
\nabla f(x,y)=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigr),
onde cada componente é uma derivada parcial. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}:
– Derivada de x^{2}y em relação a x é 2x\,y (tratando y como constante).
– Derivada de \cos(xy) em relação a x é -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=-\sin(xy)\,y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y - y\sin(xy).

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}:
– Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2} (tratando x como constante).
– Derivada de \cos(xy) em relação a y é -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\sin(xy)\,x.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} - x\sin(xy).

Passo 5

Reunindo as duas componentes, obtemos o gradiente
\nabla f(x,y)=\bigl(2x\,y - y\sin(xy),\;x^{2} - x\sin(xy)\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(2xy - y\sin(xy),\,x^{2} - x\sin(xy)\bigr).

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