Encontre a matriz inversa de A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -6 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -6\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada (A\mid I) e efetuamos operações elementares até chegar em (I\mid A^{-1}).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -6 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
O pivô inicial é o elemento \,1 da primeira linha, primeira coluna.

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo desse pivô ( 2 na posição (3,1)) usando
R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_1.
Isso transforma a matriz em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -6 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 19& -2& 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora o pivô da segunda coluna é o 1 em (2,2). Eliminamos acima e abaixo:
R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -16 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 24 & -2& 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

O pivô da terceira coluna é 24 em (3,3). Primeiro normalizamos:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{24}R_3
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -16 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{12} & \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} \end{array}\right].
Em seguida eliminamos os -16 e 5 das posições (1,3) e (2,3):
R_1 \leftarrow R_1 + 16\,R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 - 5\,R_3.
Isso leva à forma
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{12}& \tfrac{19}{24}& -\tfrac{5}{24}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{12}& \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} \end{array}\right].
Agora (A\mid I) está na forma (I\mid A^{-1}).

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] \tfrac{5}{12} & \tfrac{19}{24} & -\tfrac{5}{24}\\[6pt] -\tfrac{1}{12}& \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} \end{pmatrix}.]

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