Faça o que se pede:
Encontre a matriz Jacobiana associada à função
F(x, y)=\left[\begin{array}{c} x \cos (x)+y \\\ e^{-2 x+y} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz Jacobiana da função
F(x,y)=\begin{pmatrix} x\cos(x)+y\\\ e^{-2x+y} \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para montar a Jacobiana J_F(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F_{1}(x,y)=x\cos(x)+y.
Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos(x)\bigr) =\cos(x)-x\sin(x),
e como y é constante em relação a x,
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\cos(x)-x\sin(x).
Já em relação a y, temos
\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=1.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de F_{2}(x,y)=e^{-2x+y}.
Usando a cadeia,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =-2\,e^{-2x+y},
pois \partial(-2x+y)/\partial x=-2.
E
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} =e^{-2x+y},
pois \partial(-2x+y)/\partial y=1.

Passo 4

Agrupando todas as derivadas parciais, a Jacobiana é
J_F(x,y) =\begin{pmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x} & \frac{\partial F_{1}}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial F_{2}}{\partial x} & \frac{\partial F_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(x)-x\sin(x) & 1\\[6pt] -2\,e^{-2x+y} & e^{-2x+y} \end{pmatrix}.]

Resposta

J_F(x,y) =\begin{pmatrix} \cos(x)-x\sin(x) & 1\\\\ -2\,e^{-2x+y} & e^{-2x+y} \end{pmatrix}.

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