Escalone, Classifique e Resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{aligned} x+2 y-5 z+4 t & =0 \\\\ 2 x-3 y+2 z+3 t & =0 \\\\ 4 x-7 y+z+3 t & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e quatro incógnitas (x,y,z,t). O conteúdo aqui é eliminação de Gauss (escalonar), determinar o posto da matriz (classificação) e, como há mais incógnitas que equações, expressar a solução geral em função de parâmetro(s).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 2 & -3 & 2 & 3 & 0\\\\ 4 & -7 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-2R_1,\;R_3\leftarrow R_3-4R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & -7 & 12 & -5 & 0\\\\ 0 & -15 & 21 & -13 & 0 \end{pmatrix}.
Usamos a nova linha 2 para eliminar y da linha 3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & -7 & 12 & -5 & 0\\\\ 0 & -15 & 21 & -13 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-\tfrac{15}{7}R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & -7 & 12 & -5 & 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{33}{7} & -\tfrac{16}{7} & 0 \end{pmatrix}.
Da última linha vem
-\tfrac{33}{7}\,z - \tfrac{16}{7}\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac{16}{33}\,t.

Passo 3

O posto da matriz de coeficientes é 3 (há três linhas não nulas após escalonamento) e o número de incógnitas é 4. Como \mathrm{posto}=3<4, o sistema é possível indeterminado com uma liberdade, ou seja, infinitas soluções ao longo de uma reta.

Passo 4

Introduzimos o parâmetro livre t. Da linha 2:
-7y +12z -5t=0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{12z -5t}{7} = \frac{12\bigl(-\frac{16}{33}t\bigr)-5t}{7} = -\frac{17}{11}\,t.
Da linha 1:
x +2y -5z +4t =0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2y +5z -4t = -2\Bigl(-\tfrac{17}{11}t\Bigr) +5\Bigl(-\tfrac{16}{33}t\Bigr) -4t = -\tfrac{10}{3}\,t.

Resposta

O sistema tem posto 3 e 4 incógnitas, logo é possível indeterminado com infinitas soluções de dimensão 1.
A solução geral é
(x,y,z,t) = t\Bigl(-\tfrac{10}{3},\,-\tfrac{17}{11},\,-\tfrac{16}{33},\,1\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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