Encontre uma aproximação para raiz2 com erro inferior a varepsilon=10^-2 pelo método da bissecção. Note que esse problema é equivalente a determinar uma aproximação para o zero de f(x)=x^2-2 com erro inferior a varepsilon=10^-2.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma aproximação para raiz2 com um erro menor que varepsilon = 10^-2 usando o método da bissecção. Basicamente, isso significa que vamos buscar um número que, quando multiplicado por ele mesmo, dê algo bem próximo de 2. Para isso, vamos usar o método da bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções. No nosso caso, a função é f(x) = x^2 - 2. Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde essa função mude de sinal e seguir os passos do método para afunilar nosso intervalo até atingir o erro desejado.

Passo 2

Primeiro, o método da bissecção funciona assim: escolhemos um intervalo [a, b] onde a função f(x) muda de sinal, ou seja, f(a) cdot f(b) < 0. Isso garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, calculamos o ponto médio c = a + b2 e avaliamos f(c). Dependendo do sinal de f(c), decidimos em qual subintervalo a raiz está e repetimos o processo até que o intervalo seja menor que o erro desejado varepsilon.

Passo 3

Vamos começar escolhendo um intervalo inicial [a, b]. Sabemos que raiz2 approx 1.414, então vamos escolher a = 1 e b = 2. Agora, verificamos os valores da função nesses pontos:
f(1) = 1^2 - 2 = -1
f(2) = 2^2 - 2 = 2
Como f(1) cdot f(2) = -2 < 0, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.

Passo 4

Agora, aplicamos o método da bissecção:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1 + 22 = 1.5
  2. Avaliamos f(1.5) = (1.5)^2 - 2 = 2.25 - 2 = 0.25
  3. Como f(1) cdot f(1.5) = -1 cdot 0.25 = -0.25 < 0, a raiz está entre 1 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1, 1.5].

Passo 5

Continuamos com o novo intervalo [1, 1.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1 + 1.52 = 1.25
  2. Avaliamos f(1.25) = (1.25)^2 - 2 = 1.5625 - 2 = -0.4375
  3. Como f(1.25) cdot f(1.5) = -0.4375 cdot 0.25 = -0.109375 < 0, a raiz está entre 1.25 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1.25, 1.5].

Passo 6

Agora, com o intervalo [1.25, 1.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1.25 + 1.52 = 1.375
  2. Avaliamos f(1.375) = (1.375)^2 - 2 = 1.890625 - 2 = -0.109375
  3. Como f(1.375) cdot f(1.5) = -0.109375 cdot 0.25 = -0.02734375 < 0, a raiz está entre 1.375 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1.375, 1.5].

Passo 7

Com o intervalo [1.375, 1.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1.375 + 1.52 = 1.4375
  2. Avaliamos f(1.4375) = (1.4375)^2 - 2 = 2.06640625 - 2 = 0.06640625
  3. Como f(1.375) cdot f(1.4375) = -0.109375 cdot 0.06640625 = -0.00732421875 < 0, a raiz está entre 1.375 e 1.4375. Atualizamos o intervalo para [1.375, 1.4375].

Passo 8

Agora, com o intervalo [1.375, 1.4375]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1.375 + 1.43752 = 1.40625
  2. Avaliamos f(1.40625) = (1.40625)^2 - 2 approx 1.98046875 - 2 = -0.01953125
  3. Como f(1.40625) cdot f(1.4375) = -0.01953125 cdot 0.06640625 = -0.001953125 < 0, a raiz está entre 1.40625 e 1.4375. Atualizamos o intervalo para [1.40625, 1.4375].

Passo 9

Com o intervalo [1.40625, 1.4375]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1.40625 + 1.43752 = 1.421875
  2. Avaliamos f(1.421875) = (1.421875)^2 - 2 approx 2.02099609375 - 2 = 0.02099609375
  3. Como f(1.40625) cdot f(1.421875) = -0.01953125 cdot 0.02099609375 approx -0.00041015625 < 0, a raiz está entre 1.40625 e 1.421875. Atualizamos o intervalo para [1.40625, 1.421875].

Passo 10

Agora, com o intervalo [1.40625, 1.421875]:
  1. Calculamos o ponto médio: c = 1.40625 + 1.4218752 = 1.4140625
  2. Avaliamos f(1.4140625) = (1.4140625)^2 - 2 approx 1.999847412109375 - 2 = -0.000152587890625
  3. Como f(1.4140625) cdot f(1.421875) = -0.000152587890625 cdot 0.02099609375 approx -0.000003204345703125 < 0, a raiz está entre 1.4140625 e 1.421875. Atualizamos o intervalo para [1.4140625, 1.421875].

Passo 11

Vamos verificar se o erro está abaixo de varepsilon = 10^-2. O intervalo atual é [1.4140625, 1.421875], que tem uma largura de 1.421875 - 1.4140625 = 0.0078125, menor que 0.01. Portanto, alcançamos o erro desejado.

Resposta

Aproximação de raiz2 pelo método da bissecção com erro inferior a 10^-2 é 1.4140625.

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