Encontre uma aproximação para
com erro inferior a
pelo método da bissecção. Note que esse problema é equivalente a determinar uma aproximação para o zero de
com erro inferior a
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma aproximação para
com um erro menor que
usando o método da bissecção. Basicamente, isso significa que vamos buscar um número que, quando multiplicado por ele mesmo, dê algo bem próximo de 2. Para isso, vamos usar o método da bissecção, que ajuda a encontrar raízes de funções. No nosso caso, a função é
. Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde essa função mude de sinal e seguir os passos do método para afunilar nosso intervalo até atingir o erro desejado.
Passo 2
Primeiro, o método da bissecção funciona assim: escolhemos um intervalo [a, b] onde a função
muda de sinal, ou seja,
. Isso garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, calculamos o ponto médio
e avaliamos
. Dependendo do sinal de
, decidimos em qual subintervalo a raiz está e repetimos o processo até que o intervalo seja menor que o erro desejado
.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um intervalo inicial [a, b]. Sabemos que
, então vamos escolher
e
. Agora, verificamos os valores da função nesses pontos:
Como
, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.
Passo 4
Agora, aplicamos o método da bissecção:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1, 1.5].
Passo 5
Continuamos com o novo intervalo [1, 1.5]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.25 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1.25, 1.5].
Passo 6
Agora, com o intervalo [1.25, 1.5]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.375 e 1.5. Atualizamos o intervalo para [1.375, 1.5].
Passo 7
Com o intervalo [1.375, 1.5]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.375 e 1.4375. Atualizamos o intervalo para [1.375, 1.4375].
Passo 8
Agora, com o intervalo [1.375, 1.4375]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.40625 e 1.4375. Atualizamos o intervalo para [1.40625, 1.4375].
Passo 9
Com o intervalo [1.40625, 1.4375]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.40625 e 1.421875. Atualizamos o intervalo para [1.40625, 1.421875].
Passo 10
Agora, com o intervalo [1.40625, 1.421875]:
- Calculamos o ponto médio:
- Avaliamos
- Como
, a raiz está entre 1.4140625 e 1.421875. Atualizamos o intervalo para [1.4140625, 1.421875].
Passo 11
Vamos verificar se o erro está abaixo de
. O intervalo atual é [1.4140625, 1.421875], que tem uma largura de
, menor que
. Portanto, alcançamos o erro desejado.
Resposta
Aproximação de
pelo método da bissecção com erro inferior a
é
.