Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões \varepsilon indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
c) 5^{-x}-3^{2 x+1}=0, \quad \varepsilon=10^{-5}

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação \;5^{-x}-3^{2x+1}=0\; e obter aproximações de todas as soluções reais usando o método de Newton com precisão \varepsilon=10^{-5}, arredondando a resposta final para quatro casas decimais.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
\text{equação: } f(x)=5^{-x}-3^{2x+1}=0, \qquad \varepsilon=10^{-5}.çã
Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que f(x)=0, usando o método de Newton e parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.

Passo 2

Verificação de existência e quantidade de raízes (raciocínio que ajuda a escolher chute inicial):
  • Calcule f(-1) e f(0): f(-1)=5^{-(-1)}-3^{2(-1)+1}=5^1-3^{-1}=5-\tfrac{1}{3}=4,\!666\ldots>0,
f(0)=5^{0}-3^{1}=1-3=-2<0.
Como f é contínua, há pelo menos uma raiz em (-1,0).
  • Derivada (mostra unicidade): calcule f'(x) f'(x)=\frac{d}{dx}(5^{-x})-\frac{d}{dx}(3^{2x+1}) =- \ln(5)\,5^{-x} - 2\ln(3)\,3^{2x+1}.Observação: para todo x as quantidades \ln(5),\ln(3),5^{-x},3^{2x+1} são positivas, logo f'(x)<0 para todo x. Assim f é estritamente decrescente e existe exatamente uma raiz real. Portanto precisamos encontrar apenas essa raiz única.

Passo 3

Apresentação do método de Newton (fórmula e critérios):
  • Método de Newton: dada uma função diferenciável f e um chute inicial x_0, a iteração é x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Critério de parada que usaremos: pare quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon=10^{-5}.
  • Aqui f e f' são, explicitamente, f(x)=5^{-x}-3^{2x+1},\qquad f'(x)=-\ln(5)\,5^{-x}-2\ln(3)\,3^{2x+1}.
Explicação curta de cada termo: \ln(5) e \ln(3) são constantes (logaritmos naturais); 5^{-x} e 3^{2x+1} são exponenciais; a derivada de a^{g(x)} é a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x) (aqui g'(x) é -1 para 5^{-x} e 2 para 3^{2x+1}).

Passo 4

Escolha do chute inicial e primeira iteração:
  • Pelo sinal em (-1,0) escolhemos x_0=-0,5 (meio do intervalo).
  • Calcule f(x_0) e f'(x_0): f(-0,5)=5^{0,5}-3^{0}= \sqrt{5}-1 \approx 2,2360679775-1=1,2360679775.
f'(-0,5)=-\ln(5)\,5^{0,5}-2\ln(3)\,3^{0} \approx -1,6094379124\cdot 2,2360679775 -2\cdot 1,0986122887 \approx -5,7960371633.
  • Aplica-se Newton: x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \approx -0,5 - \frac{1,2360679775}{-5,7960371633} \approx -0,2867318953.

Passo 5

Segunda iteração (calcule x_2):
  • Avaliando em x_1: f(x_1)=5^{-x_1}-3^{2x_1+1}\approx 1,586503\,-\,1,597577\approx -0,011074.(aqui usei 5^{-x_1}=5^{0,2867318953} e 3^{2x_1+1}=3^{0,4265362094} calculados via exponencial)
  • Derivada em x_1: f'(x_1)\approx -1,6094379124\cdot 1,586503 - 2\cdot 1,0986122887\cdot 1,597577 \approx -6,061\\ (\text{aprox.}).
  • Atualização: x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx -0,2867318953 - \frac{-0,011074}{-6,061} \approx -0,2885596953.
  • Diferença entre iterações: |x_2-x_1|\approx 0,0018278 > \varepsilon,então ainda não parámos.

Passo 6

Terceira iteração (calcule x_3):
  • Avaliando em x_2: f(x_2)=5^{-x_2}-3^{2x_2+1}\approx -0,0002316\\ (\text{aprox.}),
f'(x_2)\approx -6,0\\ (\text{aprox.}).
  • Atualização: x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx -0,2885596953 - \frac{-0,0002316}{-6,0} \approx -0,2886024977.
  • Diferença: |x_3-x_2|\approx 0,0000428 > \varepsilon,ainda maior que \varepsilon, portanto prosseguimos.

Passo 7

Quarta iteração (calcule x_4) e critério de parada:
  • Avaliando em x_3 obtemos valores muito pequenos de f(x_3) (ordem 10^{-8} a 10^{-10}), e a atualização dá x_4 \approx -0,2886024949.
  • Diferença: |x_4-x_3|\approx 3{,} \times 10^{-12} < \varepsilon = 10^{-5},portanto satisfazemos o critério de parada. A iteração convergiu rapidamente (Newton tem convergência quadrática perto da raiz).
Observação final: a raiz obtida também pode ser verificada analiticamente isolando x através de logaritmos:
5^{-x}=3^{2x+1}\Rightarrow -x\ln(5)=(2x+1)\ln(3) \Rightarrow x=-\frac{\ln(3)}{\ln(5)+2\ln(3)}\approx -0,2886024949,
o que confirma a solução encontrada pelo método de Newton.

Resposta

-0,2886

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