Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões
indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação
e obter aproximações de todas as soluções reais usando o método de Newton com precisão
, arredondando a resposta final para quatro casas decimais.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
Informações dadas e observações iniciais úteis:
Devemos encontrar todos os
tais que
, usando o método de Newton e parar quando
.
Passo 2
Verificação de existência e quantidade de raízes (raciocínio que ajuda a escolher chute inicial):
- Calcule
e :
Como
é contínua, há pelo menos uma raiz em
.
- Derivada (mostra unicidade): calcule
Observação: para todo as quantidades são positivas, logo para todo . Assim é estritamente decrescente e existe exatamente uma raiz real. Portanto precisamos encontrar apenas essa raiz única.
Passo 3
Apresentação do método de Newton (fórmula e critérios):
- Método de Newton: dada uma função diferenciável
e um chute inicial , a iteração é - Critério de parada que usaremos: pare quando
. - Aqui
e são, explicitamente,
Explicação curta de cada termo:
e
são constantes (logaritmos naturais);
e
são exponenciais; a derivada de
é
(aqui
é
para
e
para
).
Passo 4
Escolha do chute inicial e primeira iteração:
- Pelo sinal em
escolhemos (meio do intervalo). - Calcule
e :
- Aplica-se Newton:
Passo 5
Segunda iteração (calcule
):
- Avaliando em
: (aqui usei e calculados via exponencial) - Derivada em
: - Atualização:
- Diferença entre iterações:
então ainda não parámos.
Passo 6
Terceira iteração (calcule
):
- Avaliando em
:
- Atualização:
- Diferença:
ainda maior que , portanto prosseguimos.
Passo 7
Quarta iteração (calcule
) e critério de parada:
- Avaliando em
obtemos valores muito pequenos de (ordem a ), e a atualização dá - Diferença:
portanto satisfazemos o critério de parada. A iteração convergiu rapidamente (Newton tem convergência quadrática perto da raiz).
Observação final: a raiz obtida também pode ser verificada analiticamente isolando
através de logaritmos:
o que confirma a solução encontrada pelo método de Newton.