Encontre uma aproximação para a solução do sistema:
\begin{aligned} x_{1}^{2} & =\cos \left(x_{1} x_{2}\right)+1 \\\ \sin \left(x_{2}\right) & =2 \cos \left(x_{1}\right) \end{aligned}
que fica próxima ao ponto x_{1}=1,5 e x_{2}=0,5.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação da solução do sistema
\begin{cases} x_{1}^{2} = \cos\bigl(x_{1}x_{2}\bigr) + 1,\\\ \sin\bigl(x_{2}\bigr) = 2\cos\bigl(x_{1}\bigr), \end{cases}
próxima ao ponto inicial (x_{1},x_{2})=(1,5,0,5). Vamos usar o Método de Newton para sistemas não lineares.

Passo 2

Definimos
F(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} F_{1}(x_{1},x_{2})\\\ F_{2}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^{2} - \cos\bigl(x_{1}x_{2}\bigr) - 1\\\ \sin\bigl(x_{2}\bigr) - 2\cos\bigl(x_{1}\bigr) \end{pmatrix}
e o Jacobiano
J(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} = 2x_{1} + x_{2}\,\sin\bigl(x_{1}x_{2}\bigr), \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} = x_{1}\,\sin\bigl(x_{1}x_{2}\bigr),
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = 2\sin\bigl(x_{1}\bigr), \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} = \cos\bigl(x_{2}\bigr).]

Passo 3

Avaliamos em (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})=(1,5,0,5):
F_{1}^{(0)} = 1{,}5^{2} - \cos(1{,}5\cdot0{,}5) - 1 = 2{,}25 - \cos(0{,}75) - 1 \approx 0{,}51831,
F_{2}^{(0)} = \sin(0{,}5) - 2\cos(1{,}5) \approx 0{,}47943 - 2\cdot0{,}07074 = 0{,}33830.
E o Jacobiano
J^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 2\cdot1{,}5 + 0{,}5\,\sin(0{,}75) & 1{,}5\,\sin(0{,}75)\\[4pt] 2\sin(1{,}5) & \cos(0{,}5) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 3{,}3408 & 1{,}0225\\\\ 1{,}9950 & 0{,}8776 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolvemos
J^{(0)}\,\delta^{(0)} = F^{(0)},
isto é,
\begin{pmatrix} 3{,}3408 & 1{,}0225\\\\ 1{,}9950 & 0{,}8776 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta_{1}\\\ \delta_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}51831\\\\ 0{,}33830 \end{pmatrix}.
Fazendo a inversão (ou método de Cramer) obtemos
\delta^{(0)}\approx(0{,}1221,\;0{,}1077).

Passo 5

Atualizamos
x^{(1)} = x^{(0)} - \delta^{(0)} \;\Longrightarrow\; (x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)}) \approx (1{,}5 - 0{,}1221,\;0{,}5 - 0{,}1077) = (1{,}3779,\;0{,}3923).

Passo 6

Para melhorar, fazemos uma segunda iteração análoga e chegamos em
(x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)})\approx(1{,}35,\;0{,}45),
com erros residuais da ordem de 10^{-3} ou menores, suficiente como aproximação.

Resposta

\displaystyle x_{1}\approx1,35,\quad x_{2}\approx0,45.

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