Encontre uma aproximação para a solução do sistema: \begin{aligned} x_{1}^{2} & =\cos \left(x_{1} x_{2}\right)+1 \\\ \sin \left(x_{2}\right) & =2 \cos \left(x_{1}\right) \end{aligned} que fica próxima ao ponto x_{1}=1,5 e x_{2}=0,5. Passo 1O enunciado pede uma aproximação da solução do sistema \begin{cases} x_{1}^{2} = \cos\bigl(x_{1}x_{2}\bigr) + 1,\\\ \sin\bigl(x_{2}\bigr) = 2\cos\bigl(x_{1}\bigr), \end{cases} próxima ao ponto inicial (x_{1},x_{2})=(1,5,0,5). Vamos usar o Método de Newton para sistemas não lineares. Passo 2Definimos F(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} F_{1}(x_{1},x_{2})\\\ F_{2}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^{2} - \cos\bigl(x_{1}x_{2}\bigr) - 1\\\ \sin\bigl(x_{2}\bigr) - 2\cos\bigl(x_{1}\bigr) \end{pmatrix} e o Jacobiano J(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix}. Calculamos as derivadas parciais: \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} = 2x_{1} + x_{2}\,\sin\bigl(x_{1}x_{2}\bigr), \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} = x_{1}\,\sin\bigl(x_{1}x_{2}\bigr), \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = 2\sin\bigl(x_{1}\bigr), \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} = \cos\bigl(x_{2}\bigr).] Passo 3Avaliamos em (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})=(1,5,0,5): F_{1}^{(0)} = 1{,}5^{2} - \cos(1{,}5\cdot0{,}5) - 1 = 2{,}25 - \cos(0{,}75) - 1 \approx 0{,}51831, F_{2}^{(0)} = \sin(0{,}5) - 2\cos(1{,}5) \approx 0{,}47943 - 2\cdot0{,}07074 = 0{,}33830. E o Jacobiano J^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 2\cdot1{,}5 + 0{,}5\,\sin(0{,}75) & 1{,}5\,\sin(0{,}75)\\[4pt] 2\sin(1{,}5) & \cos(0{,}5) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 3{,}3408 & 1{,}0225\\\\ 1{,}9950 & 0{,}8776 \end{pmatrix}.] Passo 4Resolvemos J^{(0)}\,\delta^{(0)} = F^{(0)}, isto é, \begin{pmatrix} 3{,}3408 & 1{,}0225\\\\ 1{,}9950 & 0{,}8776 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta_{1}\\\ \delta_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}51831\\\\ 0{,}33830 \end{pmatrix}. Fazendo a inversão (ou método de Cramer) obtemos \delta^{(0)}\approx(0{,}1221,\;0{,}1077). Passo 5Atualizamos x^{(1)} = x^{(0)} - \delta^{(0)} \;\Longrightarrow\; (x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)}) \approx (1{,}5 - 0{,}1221,\;0{,}5 - 0{,}1077) = (1{,}3779,\;0{,}3923). Passo 6Para melhorar, fazemos uma segunda iteração análoga e chegamos em (x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)})\approx(1{,}35,\;0{,}45), com erros residuais da ordem de 10^{-3} ou menores, suficiente como aproximação. Resposta \displaystyle x_{1}\approx1,35,\quad x_{2}\approx0,45. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosProcesso 1: construindo p_{2}(x) que interpola f(x) em x_{0}=0.25, x_{1}=0.3, x_{2}=0.35 e calculando x tal que p_{2}(x)=0.23 obtemos x=0.3166667 6) (Sperandio) Determine a equação da parábola no plano x y que passa pela origem, tem eixo vertical e melhor se ajusta aos pontos (-1,3),(1,1) e (2,5), aplicando interpolação polinomial através da solução de um sistema. P_{2}(x)=5 x^{2} / 3-x+1 / 3 Numa rodovia federal, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações: T (minutos) 60 80 100 120 140 160 180 \mathrm{D}(\mathrm{km}) 76 95 112 138 151 170 192 Utilize a Forma de Newton para encontrar um polinômio de grau 3 que aproxime o posicionamento do ônibus para os tempos de: 170 minutos Faça o que se pede: Encontre o gradiente da função f(x, y)=x^{2} y+\cos (x y)-4 Faça o que se pede: Encontre a matriz Jacobiana associada à função F(x, y)=\left[\begin{array}{c} x \cos (x)+y \\\ e^{-2 x+y} \end{array}\right]