Numa rodovia federal, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações:
T (minutos) 60 80 100 120 140 160 180
\mathrm{D}(\mathrm{km}) 76 95 112 138 151 170 192
Utilize a Forma de Newton para encontrar um polinômio de grau 3 que aproxime o posicionamento do ônibus para os tempos de:
170 minutos

Passo 1

O enunciado fornece medições do tempo T (em minutos) e da distância D (em km) percorrida por um ônibus, e pede que a gente use o polinômio interpolador de grau 3 na Forma de Newton para estimar D em T=170 minutos. Para isso precisamos escolher quatro pontos próximos de 170, calcular as diferenças divididas até a terceira ordem, montar o polinômio de Newton e, por fim, avaliá-lo em T=170.

Passo 2

Escolhemos os quatro pontos de T mais próximos de 170, que são
x_0=120,\;D_0=138;\quad x_1=140,\;D_1=151;\quad x_2=160,\;D_2=170;\quad x_3=180,\;D_3=192.

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de 1.ª, 2.ª e 3.ª ordem:
1.ª ordem:
f[x_0,x_1] =\frac{151-138}{140-120} =\frac{13}{20} =0,65,
f[x_1,x_2] =\frac{170-151}{160-140} =\frac{19}{20} =0,95,
f[x_2,x_3] =\frac{192-170}{180-160} =\frac{22}{20} =1,1.
2.ª ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{0,95-0,65}{160-120} =\frac{0,30}{40} =0,0075,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{1,1-0,95}{180-140} =\frac{0,15}{40} =0,00375.
3.ª ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{0,00375-0,0075}{180-120} =\frac{-0,00375}{60} =-0,0000625.

Passo 4

O polinômio de Newton de grau 3 fica:
P_3(T) =138 +0,65\,(T-120) +0,0075\,(T-120)(T-140) -0,0000625\,(T-120)(T-140)(T-160).

Passo 5

Agora avaliamos em T=170:
P_3(170) =138 +0,65\cdot(170-120) +0,0075\cdot(170-120)(170-140) -0,0000625\cdot(170-120)(170-140)(170-160).
Calculando termo a termo:
0,65\cdot50=32,5,\quad 0,0075\cdot50\cdot30=11,25,\quad 0,0000625\cdot50\cdot30\cdot10=0,9375,
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P_3(170)=138+32,5+11,25-0,9375=180,8125\\ (\text{km}).

Resposta

P_3(T)=138+0,65(T-120)+0,0075(T-120)(T-140)-0,0000625(T-120)(T-140)(T-160)
P_3(170)\approx180,8125 km.

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