Processo 1: construindo p_{2}(x) que interpola f(x) em x_{0}=0.25, x_{1}=0.3, x_{2}=0.35 e calculando x tal que p_{2}(x)=0.23 obtemos x=0.3166667
6) (Sperandio) Determine a equação da parábola no plano x y que passa pela origem, tem eixo vertical e melhor se ajusta aos pontos (-1,3),(1,1) e (2,5), aplicando interpolação polinomial através da solução de um sistema.
P_{2}(x)=5 x^{2} / 3-x+1 / 3

Passo 1

O enunciado pede encontrar a parábola de eixo vertical, isto é, uma função
y = P_{2}(x) = a x^{2} + b x + c
que interpola exatamente os três pontos
(-1,\,3),\quad (1,\,1),\quad (2,\,5).
O conteúdo aqui é interpolação polinomial de segundo grau via resolução de um sistema linear para determinar a, b e c.

Passo 2

Para cada ponto, impomos P_{2}(x_{i})=y_{i}. Assim:
P_{2}(-1)=a\cdot(-1)^{2}+b\cdot(-1)+c = a - b + c = 3,
P_{2}(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c = a + b + c = 1,
P_{2}(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c = 4a + 2b + c = 5.

Passo 3

Escrevendo o sistema:
\begin{cases} a - b + c = 3,\\\ a + b + c = 1,\\\\ 4a + 2b + c = 5. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a - b + c) - (a + b + c) = 3 - 1 \quad\Longrightarrow\quad -2b = 2 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da terceira:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 3a + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3a - 1 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5}{3}.

Passo 5

Para encontrar c, usamos a segunda equação a + b + c = 1:
\frac{5}{3} + (-1) + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{3} - \frac{3}{3} + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3} + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{1}{3}.

Resposta

P_{2}(x) = \frac{5}{3}\,x^{2} - x + \frac{1}{3}.

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