Encontre a área da calota cortada do hemisfério
pelo cilindro parabólico
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície do hemisfério
que fica “acima” do paraboloide
Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar o hemisfério e determinar em que ângulo polar
ele é cortado pelo paraboloide, e depois integrar a área dessa calota.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
Substituindo
obtém-se
(a única raiz positiva), logo o círculo de interseção tem
Passo 3
Na parametrização esférica de raio
temos
Na curva de interseção vale
, isto é
Portanto a calota corresponde a
e
.
Passo 4
A área de uma superfície esférica de raio
em coordenadas esféricas é
Aqui
e
, então