Encontre a área da calota cortada do hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z \geq 0 pelo cilindro parabólico z=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície do hemisfério
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2,\quad z\ge0
que fica “acima” do paraboloide
z = x^{2}+y^{2}.
Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar o hemisfério e determinar em que ângulo polar \varphi ele é cortado pelo paraboloide, e depois integrar a área dessa calota.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas r,\theta,z\) a intersecção satisfaz \[\begin{cases} r^{2} + z^{2} = 2,\\\ z = r^{2}. \end{cases}
Substituindo z=r^{2}\] na primeira equação: \[r^{2} + (r^{2})^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad r^{4} + r^{2} - 2 = 0.\] Resolvendo em \(r^{2} obtém-se r^{2}=1 (a única raiz positiva), logo o círculo de interseção tem
r=1,\quad z=1.

Passo 3

Na parametrização esférica de raio R=\sqrt{2} temos
r = \sqrt{2}\,\sin\varphi, \quad z = \sqrt{2}\,\cos\varphi.
Na curva de interseção vale \sqrt{2}\,\sin\varphi = 1, isto é
\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{4}.
Portanto a calota corresponde a 0\le\varphi\le\pi/4 e 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

A área de uma superfície esférica de raio R em coordenadas esféricas é
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\phi_{0}} R^{2}\,\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Aqui R=\sqrt{2} e \phi_{0}=\pi/4, então
A = 2\pi\,R^{2}\,\bigl[1-\cos\phi_{0}\bigr] = 2\pi\cdot2\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =4\pi\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

\boxed{A = 4\pi\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).}

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