Encontre a área entre as curvas y=x^2-3 e y=14 x que vão de x=-2 até x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas
y=f(x)=x^2-3 e y=g(x)=tfrac14x no intervalo [-2,2].
Conteúdo: cálculo de área entre curvas via integração definida de lvert f(x)-g(x)rvert.

Passo 2

Primeiro achamos onde as curvas se intersectam resolvendo
x^2 - 3 = tfrac14 x
multiplicando por 4,
4x^2 - x - 12 = 0
as raízes são
x1 = 1 - raiz1938, x2 = 1 + raiz1938

Passo 3

Para saber qual função está acima em cada parte de [-2,2], avaliamos um ponto em cada subintervalo:
– em x=-2, f(-2)=1>g(-2)=-tfrac12, logo f>g em [-2,x1];
– em x=0, f(0)=-3<g(0)=0, logo g>f em [x1,x2];
– em x=2, f(2)=1>g(2)=tfrac12, logo f>g em [x2,2].
Assim a área é
A=integral-2^x1l(f-gr),dx +integralx1^x2l(g-fr),dx +integralx2^2l(f-gr),dx

Passo 4

Calculemos a antiderivada de
f(x)-g(x)=x^2-3 - tfrac14x Longrightarrow integrall(f-gr),dx =x^33-x^28-3x
Para g(x)-f(x) basta trocar sinal.

Passo 5

Ao avaliar cada trecho e somar, obtém-se (após simplificação algébrica usando x2-x1=tfracraiz1934)
A =193raiz193192-203 =193raiz193-1280192

Resposta

boxed193raiz193-1280192

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