O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
f(theta)=sec theta tan theta, [0, pi / 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o valor médio da função f(theta) = sec theta tan theta no intervalo de 0 a pi4 . Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função contínua, que envolve calcular uma integral definida e fazer algumas contas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio Mf de uma função f(x) no intervalo [a, b]. A fórmula é:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Aqui, a = 0 e b = pi4 , e a nossa função é f(theta) = sec theta tan theta .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Mf = 1pi4 - 0 integral0^pi4 sec theta tan theta , dtheta
Simplificando o denominador:
Mf = 4pi integral0^pi4 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral sec theta tan theta , dtheta . Sabemos que a derivada de sec theta é sec theta tan theta , então a integral fica:
integral sec theta tan theta , dtheta = sec theta + C
Aplicando os limites de integração:
[ sec theta ]0^pi4 = sec(pi4) - sec(0)
Sabemos que sec(pi4) = raiz2 e sec(0) = 1 , então:
raiz2 - 1

Passo 5

Voltando à fórmula do valor médio:
Mf = 4pi (raiz2 - 1)
Isso dá o valor médio da função no intervalo dado.

Resposta

O valor médio da função f(theta) = sec theta tan theta no intervalo [0, pi4] é:
Mf = 4pi (raiz2 - 1)

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