O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
f(t)=e^-t, [0,5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função f(t) = e^-t no intervalo de [0, 5] . Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função, que envolve calcular uma integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do valor médio de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] . A fórmula é:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Aqui, Mf representa o valor médio da função f(x) entre a e b . Nesse caso, nossa função é f(t) = e^-t , e o intervalo é de 0 a 5 . Então, substituindo na fórmula:
Mf = 15 - 0 integral0^5 e^-t , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral0^5 e^-t , dt . A antiderivada de e^-t é -e^-t , então:
integral e^-t , dt = -e^-t + C
Onde C é a constante de integração. Para calcular a integral definida de 0 a 5 , substituímos os limites:
integral0^5 e^-t , dt = [ -e^-t ]0^5 = (-e^-5) - (-e^0) = -e^-5 + 1
Sabemos que e^0 = 1 e e^-5 é aproximadamente 0,006737947 .

Passo 4

Substituindo os valores na expressão do valor médio:
Mf = 15 (1 - e^-5) approx 15 (1 - 0,006737947) = 15 times 0,993262053 approx 0,198652

Resposta

O valor médio da função f(t) = e^-t no intervalo de [0, 5] é aproximadamente 0,1987 .

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