Encontre a área delimitada pelas curvas
x=1 / y^{2}, y=2 e x=y

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
x = \frac{1}{y^{2}},\quad y = 2,\quad x = y.
O conteúdo aqui é cálculo de área usando integral definida em função de y. Para montar a integral, precisamos primeiro achar onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Vamos achar as interseções:
  1. Curva x=y com curva x=\tfrac{1}{y^{2}}:
    igualando y = \tfrac{1}{y^{2}} obtemos
y^{3}=1\quad\Longrightarrow\quad y=1.
Nesse ponto x=y=1.
2. Curva x=\tfrac{1}{y^{2}} com reta y=2:
basta substituir y=2 em x=\tfrac{1}{y^{2}}, dando
x=\tfrac{1}{4}.
  1. Reta x=y com y=2 se intersectam em (2,2).

Passo 3

A região é fechada pelos pontos A=(\tfrac14,2), B=(2,2) e C=(1,1). Para y variando de 1 a 2, a fronteira esquerda é x=\tfrac{1}{y^{2}} e a direita é x=y. No topo, a reta y=2 fecha a região entre x=\tfrac14 e x=2. Logo podemos escrever a área como
\text{Área}=\int_{y=1}^{2}\bigl(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy =\int_{1}^{2}\Bigl(y-\frac{1}{y^{2}}\Bigr)\,dy.Á

Passo 4

Vamos calcular a integral
\int_{1}^{2}\Bigl(y-\frac{1}{y^{2}}\Bigr)\,dy =\int_{1}^{2}y\,dy\;-\;\int_{1}^{2}y^{-2}\,dy.
As antiderivadas são
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}, \qquad \int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y}.
Portanto uma primitiva é
F(y)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{1}{y}.

Passo 5

Avaliando de 1 a 2:
F(2)-F(1) =\Bigl(\frac{2^{2}}{2}+\frac{1}{2}\Bigr)\;-\;\Bigl(\frac{1^{2}}{2}+\frac{1}{1}\Bigr) =\bigl(2+0{,}5\bigr)-\bigl(0{,}5+1\bigr) =2{,}5-1{,}5=1.

Resposta

A área da região é 1.

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