Esboce os gráficos de:
f(x, y)=\frac{1}{4 x^{2}+9 y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de superfície de
f(x,y)=\frac{1}{4x^{2}+9y^{2}}
e também suas curvas de nível. O conteúdo envolve funções de duas variáveis, seção transversal e curvas de nível (níveis de contorno).

Passo 2

Para obter as curvas de nível, fixamos f(x,y)=c, onde c>0. Então
\frac{1}{4x^{2}+9y^{2}} = c
implica
4x^{2}+9y^{2} = \frac{1}{c}.
Isso é a equação de elipses centradas na origem, com semi-eixos \displaystyle a = \frac{1}{2\sqrt{c}} no eixo x e \displaystyle b = \frac{1}{3\sqrt{c}} no eixo y.
À medida que c cresce, \tfrac1c diminui e as elipses se contraem; para c\to0^+ elas se abrem infinitamente.

Passo 3

Para visualizar a forma 3D, escolhemos seções principais:
  1. Seção em y=0:
f(x,0)=\frac{1}{4x^{2}},
que é a curva de z versus x típica de uma função 1/x^{2} (com singularidade em x=0 e z\to0 quando |x|\to\infty).
2) Seção em x=0:
f(0,y)=\frac{1}{9y^{2}},
mesmo formato de 1/y^{2}, acentuado pela constante 9.
Em ambas as direções, há um “pic” infinito em (0,0) e a superfície decai rapidamente para zero longe da origem.

Passo 4

Com curvas de nível elípticas e seções que divergem em z no centro, o esboço geral da superfície é um “funil” com bordas achatadas:
  • No entorno de (0,0), z\to+\infty.
  • Para \sqrt{4x^{2}+9y^{2}}\to\infty, z\to0^+.
    Assim, desenhe um pico afiado na origem e paredes que caem suavemente, com base aproximando-se do plano z=0.

Resposta

As curvas de nível são elipses
4x^{2}+9y^{2}=\frac{1}{c}\quad(c>0),
e o gráfico de superfície é um funil com singularidade em (0,0), subindo a +\infty no centro e decaindo a 0 para \sqrt{4x^{2}+9y^{2}}\to\infty.

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