Esboce os gráficos de:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de superfície de
e também suas curvas de nível. O conteúdo envolve funções de duas variáveis, seção transversal e curvas de nível (níveis de contorno).
Passo 2
Para obter as curvas de nível, fixamos
, onde
. Então
implica
Isso é a equação de elipses centradas na origem, com semi-eixos
no eixo
e
no eixo
.
À medida que cresce,
diminui e as elipses se contraem; para
elas se abrem infinitamente.
À medida que
Passo 3
Para visualizar a forma 3D, escolhemos seções principais:
- Seção em
:
que é a curva de
versus
típica de uma função
(com singularidade em
e
quando
).
2) Seção em :
2) Seção em
mesmo formato de
, acentuado pela constante
.
Em ambas as direções, há um “pic” infinito em
e a superfície decai rapidamente para zero longe da origem.
Passo 4
Com curvas de nível elípticas e seções que divergem em
no centro, o esboço geral da superfície é um “funil” com bordas achatadas:
- No entorno de
, . - Para
, .
Assim, desenhe um pico afiado na origem e paredes que caem suavemente, com base aproximando-se do plano.
Resposta
As curvas de nível são elipses
e o gráfico de superfície é um funil com singularidade em
, subindo a
no centro e decaindo a
para
.