Se \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é absolutamente convergente \lim b_{n}=0, ponha c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{0} e prove que \lim c_{n}=0.
Passo 1
O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty}a_n converge absolutamente e que \lim_{n\to\infty}b_n=0. Definimos \r
c_n = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdots + a_n b_0\r
e queremos mostrar que \lim_{n\to\infty}c_n = 0. Vamos usar um argumento tipo “\varepsilon–N” dividindo a soma em duas partes: uma parte com poucos termos de a_i (índices pequenos) onde b_{n-i} fica pequeno, e outra parte onde a cauda de \sum|a_n| fica pequena.
Passo 2
Como \sum_{n=0}^\infty a_n converge absolutamente, existe \r
C = \sum_{n=0}^{\infty} \lvert a_n\rvert < \infty.\r
Além disso, a convergência de b_n a 0 implica que (b_n) é limitada, isto é, existe B>0 tal que \r
\lvert b_n\rvert \le B \quad\text{para todo }n.
Passo 3
Seja \varepsilon>0. Como \sum\lvert a_n\rvert = C, podemos escolher um M\in\mathbb{N} tal que a cauda satisfaça\r