Se \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é absolutamente convergente \lim b_{n}=0, ponha c_{n}= a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{0} e prove que \lim c_{n}=0.

Passo 1

O enunciado diz que a série \sum_{n=0}^{\infty}a_n converge absolutamente e que \lim_{n\to\infty}b_n=0. Definimos \r
c_n = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdots + a_n b_0\r
e queremos mostrar que \lim_{n\to\infty}c_n = 0. Vamos usar um argumento tipo “ \varepsilon N” dividindo a soma em duas partes: uma parte com poucos termos de a_i (índices pequenos) onde b_{n-i} fica pequeno, e outra parte onde a cauda de \sum|a_n| fica pequena.

Passo 2

Como \sum_{n=0}^\infty a_n converge absolutamente, existe \r
C = \sum_{n=0}^{\infty} \lvert a_n\rvert < \infty.\r
Além disso, a convergência de b_n a 0 implica que (b_n) é limitada, isto é, existe B>0 tal que \r
\lvert b_n\rvert \le B \quad\text{para todo }n.

Passo 3

Seja \varepsilon>0. Como \sum\lvert a_n\rvert = C, podemos escolher um M\in\mathbb{N} tal que a cauda satisfaça\r
\sum_{i=M+1}^{\infty} \lvert a_i\rvert < \varepsilon.

Passo 4

Como \lim b_n=0, existe N\in\mathbb{N} tal que \r
\lvert b_k\rvert < \varepsilon \quad\text{sempre que }k\ge N.\r
Então, para todo n> N+M e para todo i=0,1,\dots,M, temos n-i\ge N e assim \r \lvert b_{n-i}\rvert<\varepsilon.

Passo 5

Para n> N+M, decompomos\r
c_n = \sum_{i=0}^{M} a_i\,b_{n-i} \;+\;\sum_{i=M+1}^{n} a_i\,b_{n-i}.\r
Estimamos cada parte por módulo:\r
\biggl\lvert \sum_{i=0}^{M} a_i\,b_{n-i}\biggr\rvert \le \sum_{i=0}^{M} \lvert a_i\rvert\,\lvert b_{n-i}\rvert \le \varepsilon \sum_{i=0}^{M}\lvert a_i\rvert \le \varepsilon\,C,\r
pois \sum_{i=0}^M\lvert a_i\rvert\le C. E\r
\biggl\lvert \sum_{i=M+1}^{n} a_i\,b_{n-i}\biggr\rvert \le \sum_{i=M+1}^{n} \lvert a_i\rvert\,\lvert b_{n-i}\rvert \le B \sum_{i=M+1}^{n}\lvert a_i\rvert < B\,\varepsilon.

Passo 6

Somando as duas estimativas:\r
\lvert c_n\rvert \le \varepsilon\,C + B\,\varepsilon = (C+B)\,\varepsilon.\r
Como \varepsilon>0 era arbitrário, isso mostra que \lvert c_n\rvert\to 0, ou seja \lim_{n\to\infty}c_n=0.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n = 0.

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