Se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, prove que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado diz que as séries \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} são convergentes. Queremos mostrar que \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente, isto é, que \sum |a_{n}b_{n}| converge.

Passo 2

Para cada n usamos a desigualdade bem-conhecida que provém de (|a_{n}|-|b_{n}|)^{2}\ge0:
a_{n}^{2} + b_{n}^{2} \;=\; (|a_{n}| - |b_{n}|)^{2} + 2\,|a_{n}b_{n}| \;\ge\; 2\,|a_{n}b_{n}|.
Logo,
|a_{n}b_{n}| \;\le\; \tfrac12\bigl(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}\bigr).

Passo 3

Aplicando a soma em n e usando o teste da comparação, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}b_{n}| \;\le\; \tfrac12\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}\bigr) \;=\; \tfrac12\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} + \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}\Bigr).
Como ambas \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, o lado direito é finito, logo \sum|a_{n}b_{n}| converge.

Resposta

A série \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente, pois
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}b_{n}| \;\le\; \tfrac12\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} + \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}\Bigr) <\infty.

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