Encontre a área
dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar
. Em seguida, forneça uma expressão integral para o comprimento
do laço menor.
Passo 1
O enunciado pede a área
que está dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar
e uma expressão integral para o comprimento
do laço menor. Para isso vamos usar as fórmulas de coordenadas polares:
– Área encerrada por um arco :
– Área encerrada por um arco
– Comprimento de arco em polar:
Passo 2
Primeiro identificamos onde nasce e morre o laço menor, isto é onde
:
isso ocorre em
e
. Entre
e
temos o laço menor (a curva volta ao polo com
, mas o ajuste do quadrado dá área positiva). O laço maior corresponde a
.
Passo 3
Vamos calcular uma primitiva genérica
Expandindo e usando
dá
Integrando termo a termo
A área do laço maior é
A área do laço menor é
Portanto a área pedida, que é a região dentro do laço maior e fora do menor, é
Passo 4
Para o comprimento do laço menor usamos
logo
Assim o comprimento do laço menor, variando
de
a
, é