Encontre a área A dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar r=12+cos (theta). Em seguida, forneça uma expressão integral para o comprimento L do laço menor.

Passo 1

O enunciado pede a área A que está dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar
r(theta)=tfrac12+costheta
e uma expressão integral para o comprimento L do laço menor. Para isso vamos usar as fórmulas de coordenadas polares:
– Área encerrada por um arco thetain[alpha,beta]:
A=tfrac12integralalpha^betar^2(theta),dtheta
– Comprimento de arco em polar:
L=integralalpha^betaraizr^2(theta)+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro identificamos onde nasce e morre o laço menor, isto é onde r=0:
tfrac12+costheta=0Longrightarrowcostheta=-tfrac12
isso ocorre em theta=2pi/3 e theta=4pi/3. Entre 2pi/3 e 4pi/3 temos o laço menor (a curva volta ao polo com r<0, mas o ajuste do quadrado dá área positiva). O laço maior corresponde a thetain[-2pi/3,2pi/3].

Passo 3

Vamos calcular uma primitiva genérica
I(theta)=integrall(tfrac12+costhetar)^2,dtheta
Expandindo e usando cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta)
(tfrac12+costheta)^2=tfrac14+costheta+tfrac12(1+cos2theta) =tfrac34+costheta+tfrac12cos2theta
Integrando termo a termo
I(theta)=integrall(tfrac34+costheta+tfrac12cos2thetar)dtheta =tfrac3theta4+sintheta+tfrac14sin2theta
A área do laço maior é
Arm maior =tfrac12l[I(2pi/3)-I(-2pi/3)r] =tfrac12l(pi+tfrac3raiz34r) =tfracpi2+tfrac3raiz38
A área do laço menor é
Arm menor =tfrac12l[I(4pi/3)-I(2pi/3)r] =tfrac12l(tfracpi2-tfrac3raiz34r) =tfracpi4-tfrac3raiz38
Portanto a área pedida, que é a região dentro do laço maior e fora do menor, é
A=Arm maior-Arm menor =l(tfracpi2+tfrac3raiz38r) -l(tfracpi4-tfrac3raiz38r) =tfracpi4+tfrac3raiz34

Passo 4

Para o comprimento do laço menor usamos
r'(theta)=-sintheta,
logo
r^2+r'^2 =(tfrac12+costheta)^2+sin^2theta =1+costheta+tfrac14 =tfrac54+costheta
Assim o comprimento do laço menor, variando theta de 2pi/3 a 4pi/3, é
L=integral2pi/3^4pi/3 raiztfrac54+costheta;dtheta

Resposta

A=pi+3raiz34,
L=integral2pi/3^4pi/3raiz54+costheta,dtheta

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