Encontre a solução das seguintes equações:
2 y^2+3 x+2 x y y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
2,y^2 + 3,x + 2,x,y,dydx = 0
Este é um ODE de primeira ordem não exato, mas a presença de y^2 e de y,y' sugere a substituição
v = y^2,
pois
dvdx = 2,y,dydx

Passo 2

Usando v=y^2, temos dvdx=2,y,y'. A equação torna-se
2,v + 3,x + 2,x,12,dvdx = 0 Longrightarrow 2,v + 3,x + x,dvdx = 0
Reescrevendo,
x,dvdx + 2,v = -3,x

Passo 3

Reconhecemos uma equação linear em v(x):
dvdx + 2x,v = -3
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2x,dxr) = x^2
Multiplicando a equação por x^2 obtemos
x^2,dvdx + 2,x,v = -3,x^2,
isto é,
ddxl(x^2,vr) = -3,x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x^2,v = integral -3,x^2,dx = -x^3 + C,
onde C é constante de integração. Voltando a v=y^2, temos
x^2,y^2 = -x^3 + C Longrightarrow y^2 = -x + Cx^2

Resposta

A solução geral é
y^2 = Cx^2 - x,
ou, de forma implícita,
x^2,y^2 + x^3 = C

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