Encontre a solução das seguintes equações:
(2 cos xx-sen x) y^2+2 cos x y y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
gl(2,cos xx-sen xgr)y^2+2cos x,y,y'=0
O conteúdo aqui é reconhecer uma derivada de produto e, em seguida, resolver uma equação linear em nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de modo mais claro:
2cos x,y,y'+l(2,cos xx-sen xr)y^2=0
Note que a derivada de cos x,y^2 é
ddxl(cos x,y^2r) =-sen x,y^2+2cos x,y,y'

Passo 3

Comparando com a equação original, vemos que falta apenas o termo tfrac2cos xxy^2. Assim podemos reescrever
-sen x,y^2+2cos x,y,y'+2cos xxy^2=0 ;Longrightarrow; ddxl(cos x,y^2r)+2cos xx,y^2=0

Passo 4

Defina
u(x)=cos x,y^2
Como y^2=u/cos x, o termo adicional fica
2cos xx,y^2 =2cos xx,ucos x =2x,u
Logo a equação se torna
dudx+2x,u=0

Passo 5

Esta é uma equação linear de coeficientes em x. O fator integrante é
mu(x)=exp!l(!integral2xdxr)=x^2
Multiplicando tudo por x^2 obtemos
ddxl(x^2ur)=0 ;Longrightarrow; x^2u=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando à variável original, u=cos x,y^2, temos
x^2cos x,y^2=C ;Longrightarrow; y^2=Cx^2cos x ;Longrightarrow; y=pmraizCxraizcos x
Podemos absorver o sinal e raizC em uma única constante K.

Resposta

boxedy(x)=Kxraizcos x,
onde K é constante de integração.

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