Encontre a área limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a área limitada pelas curvas
e
".\n
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:\n
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:\n
- As curvas são as funções
e .\n - A área pedida é a região do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a região fechada onde elas se interceptam).\n
Não resolvo nada ainda — só identifiquei o que é pedido e quais expressões temos.
Passo 2
Como calcular a área limitada entre duas curvas? Vou explicar a ideia: se duas curvas se interceptam em
e
e uma delas é a “de cima” (maior) e a outra a “de baixo” (menor) no intervalo
, a área entre elas é
Aqui usamos fatias verticais (retângulos infinitesimais) de largura
e altura igual à diferença vertical entre as curvas. A justificativa vem da definição de integral definida como soma de áreas de retângulos infinitesimais.\n
Portanto precisamos: (i) achar os pontos de interseção (os limites e
), e (ii) em cada intervalo entre interseções identificar qual função está acima da outra para colocar a ordem correta na diferença. Se houver mais de um intervalo, somamos as áreas em cada intervalo.
Portanto precisamos: (i) achar os pontos de interseção (os limites
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção resolvendo
. Faço isso passo a passo:
Factorizo:
As raízes são as soluções de
, portanto
Esses são os pontos onde as curvas se cruzam; portanto a região limitada está dentro do intervalo
(pode haver sub-regiões entre esses três pontos).
Passo 4
Agora precisamos saber, em cada subintervalo formado por
, qual função está por cima. Testamos um ponto em cada subintervalo:\n
- Para
, escolha . Calculamos e . Como , temos nesse intervalo. Ou seja, está acima de para .\n - Para
, escolha . Calculamos e . Como , temos nesse intervalo. Ou seja, está acima de para .\n
Observação: nos intervalos fora deas curvas não formam uma região limitada entre si (elas se separam), então a área limitada está nas duas sub-regiões e .
Passo 5
Montamos as integrais da área nas duas sub-regiões, sempre colocando “de cima menos de baixo”:\n
Para , área parcial
Para
pois
está por cima.\n
Para , área parcial
Para
pois
está por cima.\n
A área total é a soma
A área total é a soma
(Escolhemos dividir porque a função “de cima” trocou em
.)
Passo 6
Calculo das integrais passo a passo. Primeiro lembro uma regra importante (explico como se fosse uma aula curta): a regra do poder para antiderivadas diz que, para
,
Aplicamos isso termo a termo.\n
Cálculo de :
Cálculo de
Agora avalio nos limites. Primeiro em
:
Depois em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Cálculo de
:
Avalio em
:
Avalio em
dá
. Subtraindo:
Passo 7
Somamos as áreas parciais. Mantendo a soma explícita:
(Se quiser ver a simetria: as duas regiões são simétricas em torno de
porque
e
são funções ímpares, por isso os dois pedaços têm a mesma área.)\n
Não repito a resposta final aqui (seguindo a regra), deixo a simplificação final só na seção de resposta.
Não repito a resposta final aqui (seguindo a regra), deixo a simplificação final só na seção de resposta.