Encontre a área limitada pelas curvas f(x)=x^{3} e g(x)=x.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a área limitada pelas curvas f(x)=x^{3} e g(x)=x".\n
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:\n
  • As curvas são as funções f(x)=x^{3} e g(x)=x.\n
  • A área pedida é a região do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a região fechada onde elas se interceptam).\n
    Não resolvo nada ainda — só identifiquei o que é pedido e quais expressões temos.

Passo 2

Como calcular a área limitada entre duas curvas? Vou explicar a ideia: se duas curvas se interceptam em x=a e x=b e uma delas é a “de cima” (maior) e a outra a “de baixo” (menor) no intervalo [a,b], a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} (\text{função de cima} - \text{função de baixo})\,dx.Áçãçã
Aqui usamos fatias verticais (retângulos infinitesimais) de largura dx e altura igual à diferença vertical entre as curvas. A justificativa vem da definição de integral definida como soma de áreas de retângulos infinitesimais.\n
Portanto precisamos: (i) achar os pontos de interseção (os limites a e b), e (ii) em cada intervalo entre interseções identificar qual função está acima da outra para colocar a ordem correta na diferença. Se houver mais de um intervalo, somamos as áreas em cada intervalo.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção resolvendo x^{3}=x. Faço isso passo a passo:
x^{3}=x \quad\Longrightarrow\quad x^{3}-x=0.
Factorizo:
x^{3}-x = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).
As raízes são as soluções de x(x-1)(x+1)=0, portanto
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.
Esses são os pontos onde as curvas se cruzam; portanto a região limitada está dentro do intervalo [-1,1] (pode haver sub-regiões entre esses três pontos).

Passo 4

Agora precisamos saber, em cada subintervalo formado por -1,0,1, qual função está por cima. Testamos um ponto em cada subintervalo:\n
  • Para -1<x<0, escolha x=-\tfrac{1}{2}. Calculamos f(-\tfrac{1}{2})=(-\tfrac{1}{2})^{3}=-\tfrac{1}{8} e g(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{2}. Como -\tfrac{1}{8} > -\tfrac{1}{2}, temos f(x)>g(x) nesse intervalo. Ou seja, x^{3} está acima de x para -1<x<0.\n
  • Para 0<x<1, escolha x=\tfrac{1}{2}. Calculamos f(\tfrac{1}{2})=(\tfrac{1}{2})^{3}=\tfrac{1}{8} e g(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}. Como \tfrac{1}{8}<\tfrac{1}{2}, temos g(x)>f(x) nesse intervalo. Ou seja, x está acima de x^{3} para 0<x<1.\n
    Observação: nos intervalos fora de [-1,1] as curvas não formam uma região limitada entre si (elas se separam), então a área limitada está nas duas sub-regiões [-1,0] e [0,1].

Passo 5

Montamos as integrais da área nas duas sub-regiões, sempre colocando “de cima menos de baixo”:\n
Para [-1,0], área parcial
A_{1}=\int_{-1}^{0} \bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx,
pois x^{3} está por cima.\n
Para [0,1], área parcial
A_{2}=\int_{0}^{1} \bigl(x-x^{3}\bigr)\,dx,
pois x está por cima.\n
A área total é a soma
A = A_{1}+A_{2}.
(Escolhemos dividir porque a função “de cima” trocou em x=0.)

Passo 6

Calculo das integrais passo a passo. Primeiro lembro uma regra importante (explico como se fosse uma aula curta): a regra do poder para antiderivadas diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicamos isso termo a termo.\n
Cálculo de A_{1}:
A_{1}=\int_{-1}^{0} \bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}.
Agora avalio nos limites. Primeiro em x=0:
\frac{0^{4}}{4}-\frac{0^{2}}{2}=0.
Depois em x=-1:
\frac{(-1)^{4}}{4}-\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.
Subtraindo (valor em 0 menos valor em -1):
A_{1}=0-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.
Cálculo de A_{2}:
A_{2}=\int_{0}^{1} \bigl(x-x^{3}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.
Avalio em x=1:
\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{4}}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Avalio em x=0 0. Subtraindo:
A_{2}=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}.

Passo 7

Somamos as áreas parciais. Mantendo a soma explícita:
A = A_{1}+A_{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}.
(Se quiser ver a simetria: as duas regiões são simétricas em torno de x=0 porque x e x^{3} são funções ímpares, por isso os dois pedaços têm a mesma área.)\n
Não repito a resposta final aqui (seguindo a regra), deixo a simplificação final só na seção de resposta.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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